Sejam
e
números complexos, com
. Supondo que todos os valores envolvidos sejam principais, prove que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade
quando todos os expoentes são números complexos
e a base
, usando a definição de potência complexa via logaritmo principal. O conteúdo da matéria é a definição
onde é o logaritmo principal de
.
Passo 2
Relembremos a definição de logaritmo principal: para
,
com . A partir daí definimos
Passo 3
Multiplicamos
por
usando a regra do exponencial: para quaisquer complexos
e
vale
. Assim,
Passo 4
Fatoramos na soma do expoente:
Logo
Passo 5
Pela definição de potência complexa, . Portanto concluímos
como se queria demonstrar.