Sejam c, c1, c2 e z números complexos, com z neq 0. Supondo que todos os valores envolvidos sejam principais, prove que
z^c1 z^c2=z^c1+c2;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade
quando todos os expoentes são números complexos e a base , usando a definição de potência complexa via logaritmo principal. O conteúdo da matéria é a definição
onde é o logaritmo principal de .

Passo 2

Relembremos a definição de logaritmo principal: para ,
com . A partir daí definimos

Passo 3

Multiplicamos por usando a regra do exponencial: para quaisquer complexos e vale . Assim,

Passo 4

Fatoramos na soma do expoente:
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Passo 5

Pela definição de potência complexa, . Portanto concluímos
como se queria demonstrar.

Resposta

z^c1,z^c2 = z^,c1+c2

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