Sejam quatro pontos, A, B, C, D, dispostos sobre uma mesma reta, nessa ordem, e tais que AC e BD sejam congruentes. Demonstre que os segmentos AB e CD são congruentes e que os segmentos BC e AD têm o mesmo ponto médio.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro pontos A,B,C,D colineares e nessa ordem, e que ACcongBD. O conteúdo é geometria métrica em reta: vamos usar o Postulado da Adição de Segmentos e a definição de ponto médio para mostrar primeiro que ABcongCD e depois que os segmentos BC e AD têm o mesmo ponto médio.

Passo 2

Pelo Postulado da Adição de Segmentos, como A,B,C são colineares nessa ordem,
AC = AB + BC
De modo análogo, como B,C,D são colineares nessa ordem,
BD = BC + CD
Como AC=BD por hipótese, temos
AB + BC = BC + CD
Cancelando o segmento comum BC em ambos os lados (axioma de cancelamento de segmentos), obtemos
AB = CD,
ou seja, ABcongCD.

Passo 3

Agora seja M o ponto médio de BC. Por definição,
BM = MC
Para mostrar que M é também o ponto médio de AD, basta ver que
AM = AB + BM e MD = MC + CD
Mas já demonstramos que AB=CD e, por construção de M, BM=MC. Logo
AM = AB + BM = CD + MC = MD
Isto prova que M equidista de A e de D, ou seja, M é o ponto médio de AD.

Resposta

Mostramos que ABcongCD e que o ponto médio de BC é também o ponto médio de AD.

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