Sejam A, B, C os seguintes rectângulos do plano X O Y.
A=[0,4] times[0,1], B=[2,3] times[1,3], C=[2,4] times[3,4]
Usar o teorema de Pappus para determinar o centroide de cada uma das seguintes figuras:
(d) A cup B cup C.

Passo 1

O enunciado fornece três retângulos
A=[0,4]times[0,1], B=[2,3]times[1,3], C=[2,4]times[3,4]
e pede o centróide de Acup Bcup C. Vamos usar o teorema de Pappus para figuras planas compostas, que diz que as coordenadas do centróide do conjunto são a média ponderada das coordenadas dos centróides de cada parte, com pesos iguais às suas áreas.

Passo 2

Para A=[0,4]times[0,1] a base é 4 e a altura é 1, logo
área(A)=4cdot1=4 á
Como é um retângulo uniforme, seu centróide está no ponto médio de cada dimensão, isto é,
(bar xA,bar yA)=l(2,tfrac12r)

Passo 3

Para B=[2,3]times[1,3] temos base 1 e altura 2, logo
área(B)=1cdot2=2 á
O centróide de B está no ponto médio de cada intervalo, ou seja,
(bar xB,bar yB)=l(tfrac52,2r)

Passo 4

Para C=[2,4]times[3,4] a base vale 2 e a altura vale 1, daí
área(C)=2cdot1=2, á
e o seu centróide é
(bar xC,bar yC)=l(3,tfrac72r)

Passo 5

Pelo teorema de Pappus, as coordenadas do centróide (bar x,bar y) de Acup Bcup C são
bar x=sumi Ai,bar xisumi Ai, bar y=sumi Ai,bar yisumi Ai
Aqui sumi Ai=4+2+2=8, então
bar x=4cdot2 ;+;2cdot52 ;+;2cdot38 =198, bar y=4cdottfrac12 ;+;2cdot2 ;+;2cdottfrac728 =138

Resposta

l(bar x,bar yr) =l(tfrac198,,tfrac138r)

Exercícios de Livros Relacionados