Determinar a distância média de um vértice de um quadrado de lado
aos pontos interiores do quadrado.
Passo 1
O enunciado pede a distância média de um vértice de um quadrado de lado
a todos os pontos interiores do quadrado. O conteúdo aqui é valor médio de uma função em duas variáveis, definido por
onde
e
. Vamos usar dupla integral e coordenadas polares.
Passo 2
Escrevemos a distância média como
com
Agora vamos calcular
em coordenadas polares, lembrando que a região é o quadrado no primeiro quadrante.
Passo 3
Em coordenadas polares
, temos
,
e
. O quadrado corresponde a dois trechos em
:
- para
, vai de até ; - para
, vai de até .
Logo
Passo 4
Usamos as primitivas conhecidas:
Avaliando de
a
e de
a
obtemos em ambos os casos
Portanto
Passo 5
Substituindo em
vem