Determinar a distância média de um vértice de um quadrado de lado h aos pontos interiores do quadrado.

Passo 1

O enunciado pede a distância média de um vértice de um quadrado de lado h a todos os pontos interiores do quadrado. O conteúdo aqui é valor médio de uma função em duas variáveis, definido por
bar d = 1área integral duplaR d(x,y),dx,dy, á
onde R=(x,y)mid0<= x<= h,;0<= y<= h e d(x,y)=raizx^2+y^2. Vamos usar dupla integral e coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos a distância média como
bar d =1h^2 integral0^hintegral0^hraizx^2+y^2,dx,dy =1h^2I,
com
I=integral0^hintegral0^hraizx^2+y^2,dx,dy
Agora vamos calcular I em coordenadas polares, lembrando que a região é o quadrado no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares (r,theta), temos x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy=r,dr,dtheta. O quadrado corresponde a dois trechos em theta:
  • para 0<=theta<=pi/4, r vai de 0 até h/costheta;
  • para pi/4<=theta<=pi/2, r vai de 0 até h/sintheta.
    Logo
I =integral0^pi/4integral0^h/costhetarcdot r,dr,dtheta +integralpi/4^pi/2integral0^h/sinthetarcdot r,dr,dtheta =13h^3gl[integral0^pi/4sec^3theta,dtheta +integralpi/4^pi/2csc^3theta,dthetagr]

Passo 4

Usamos as primitivas conhecidas:
integralsec^3theta,dtheta =tfrac12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r), integralcsc^3theta,dtheta =-tfrac12l(cscthetacottheta+ln|csctheta+cottheta|r)
Avaliando de 0 a pi/4 e de pi/4 a pi/2 obtemos em ambos os casos
integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta =raiz2+ln(1+raiz2)2
Portanto
I=13h^3l(raiz2+ln(1+raiz2)r)

Passo 5

Substituindo em bar d=tfrac1h^2I vem
bar d =h3l(raiz2+ln(1+raiz2)r)

Resposta

boxedbar d=h3l(raiz2+ln(1+raiz2)r)

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