Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente 40^circ e 70^circ, o terceiro diedro pode medir 70^circ.
c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.
f) Três retas r, se t incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
g) Três retas r, s e t não coplanares e incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmativa sobre triedros em verdadeiro (V) ou falso (F). O conteúdo envolve definição de triedro, triedro trirretângulo, ângulos diedros e seções por planos, além de contagem de regiões formadas por retas em R^3.

Passo 2

a) Um triedro trirretângulo é aquele cujos três diedros são retos, ou seja, cada par de faces está a 90^circ. Sejam as arestas VA, VB, VC. Como o diedro entre as faces VBC e VCA é reto, a aresta VA é perpendicular ao plano BCV; analogamente, as outras arestas são perpendiculares às faces opostas. Portanto a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

b) Para que três medidas alpha,beta,gamma possam ser ângulos diedros de um triedro, basta que cada soma de dois seja maior que o terceiro e que alpha+beta+gamma<360^circ. Tomando alpha=40^circ, beta=70^circ e gamma=70^circ, vemos que
40^circ+70^circ>70^circ,70^circ+70^circ>40^circ,40^circ+70^circ<360^circ,
logo é possível. A afirmativa é verdadeira.

Passo 4

c) Num triedro trirretângulo os eixos são perpendiculares. Se uma seção intercepta as arestas em pontos A,B,C tais que VA=VB=VC=t, suas coordenadas podem ser tomadas como (t,0,0), (0,t,0), (0,0,t). As distâncias entre quaisquer dois desses pontos são
raizt^2+t^2=traiz2,
tornando o triângulo ABC equilátero. Logo a afirmativa é verdadeira.

Passo 5

d) Em um triedro genérico as arestas não são mutuamente perpendiculares, de modo que pontos equidistantes do vértice não garantem que os comprimentos AB, BC e CA sejam iguais. Portanto a afirmativa é falsa.

Passo 6

e) As “faces” de um triedro são ângulos planos entre pares de arestas. Num ponto V em R^3, não existe regra que force cada um desses ângulos a ser maior que a soma dos outros dois (isso seria impossível mesmo em R^2). Logo a afirmativa é falsa.

Passo 7

f) Se três retas r,s,t são coplanares em V, elas dividem o plano em no máximo 6 “setores” e não definem triedros (regiões tridimensionais distintas). Portanto a afirmação “determinam 8 triedros” sem o requisito de não coplanaridade é falsa.
g) Se r,s,t são não coplanares e passam por V, cada reta gera duas metarristas (meios-retas) e a combinação de escolhas de uma de cada par dá 2^3=8 triedros. Logo esta afirmativa é verdadeira.

Passo 8

h) Dois triedros opostos pelo vértice usam exatamente os mesmos três planos, apenas em sinais opostos. Assim, eles têm os mesmos três ângulos diedros e são congruentes. A afirmativa é verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F
e) F
f) F
g) V
h) V

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