Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente
e
, o terceiro diedro pode medir
.
c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice
, a seção determinada é um triângulo equilátero.
e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.
f) Três retas
, se
incidentes num ponto V determinam 8 triedros.
g) Três retas
, s e
não coplanares e incidentes num ponto
determinam 8 triedros.
h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
a) Em todo triedro trirretângulo, cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
b) Se dois diedros de um triedro medem respectivamente
c) Se um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice V, a seção determinada é um triângulo equilátero.
d) Se um plano intercepta as arestas de um triedro nos pontos A, B, C equidistantes de seu vértice
e) Cada face de um triedro é maior que a soma das outras duas.
f) Três retas
g) Três retas
h) Se dois triedros são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmativa sobre triedros em verdadeiro (V) ou falso (F). O conteúdo envolve definição de triedro, triedro trirretângulo, ângulos diedros e seções por planos, além de contagem de regiões formadas por retas em
.
Passo 2
a) Um triedro trirretângulo é aquele cujos três diedros são retos, ou seja, cada par de faces está a
. Sejam as arestas
,
,
. Como o diedro entre as faces
e
é reto, a aresta
é perpendicular ao plano
; analogamente, as outras arestas são perpendiculares às faces opostas. Portanto a afirmativa é verdadeira.
Passo 3
b) Para que três medidas
possam ser ângulos diedros de um triedro, basta que cada soma de dois seja maior que o terceiro e que
. Tomando
,
e
, vemos que
logo é possível. A afirmativa é verdadeira.
Passo 4
c) Num triedro trirretângulo os eixos são perpendiculares. Se uma seção intercepta as arestas em pontos
tais que
, suas coordenadas podem ser tomadas como
,
,
. As distâncias entre quaisquer dois desses pontos são
tornando o triângulo
equilátero. Logo a afirmativa é verdadeira.
Passo 5
d) Em um triedro genérico as arestas não são mutuamente perpendiculares, de modo que pontos equidistantes do vértice não garantem que os comprimentos
,
e
sejam iguais. Portanto a afirmativa é falsa.
Passo 6
e) As “faces” de um triedro são ângulos planos entre pares de arestas. Num ponto
em
, não existe regra que force cada um desses ângulos a ser maior que a soma dos outros dois (isso seria impossível mesmo em
). Logo a afirmativa é falsa.
Passo 7
f) Se três retas
são coplanares em
, elas dividem o plano em no máximo 6 “setores” e não definem triedros (regiões tridimensionais distintas). Portanto a afirmação “determinam 8 triedros” sem o requisito de não coplanaridade é falsa.
g) Se são não coplanares e passam por
, cada reta gera duas metarristas (meios-retas) e a combinação de escolhas de uma de cada par dá
triedros. Logo esta afirmativa é verdadeira.
g) Se
Passo 8
h) Dois triedros opostos pelo vértice usam exatamente os mesmos três planos, apenas em sinais opostos. Assim, eles têm os mesmos três ângulos diedros e são congruentes. A afirmativa é verdadeira.
Resposta
a) V
b) V
c) V
d) F
e) F
f) F
g) V
h) V
b) V
c) V
d) F
e) F
f) F
g) V
h) V