Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de superfície 400 pi m^2.

Passo 1

O enunciado dá a área da superfície de uma esfera igual a 400pi m^2 e pede a área total de um cilindro equilátero circunscrito a essa esfera. Vamos usar:
– A fórmula da área de uma esfera,
– A definição de cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro da base) e
– A fórmula da área total de um cilindro.

Passo 2

Da esfera, seja R o raio. Como a área é
4pi R^2 = 400pi
seguimos que
R^2 = 100 Longrightarrow R = 10 m

Passo 3

Para o cilindro circunscrito à esfera:
– O raio da base do cilindro é r=R=10 m, pois a esfera encosta lateralmente no cilindro.
– A altura do cilindro é o diâmetro da esfera, ou seja
h = 2R = 20 m

Passo 4

A área total do cilindro é a soma da área lateral com as duas bases:
Acil = 2pi r^2 ;+; 2pi r,h
Substituindo r=10 e h=20:
Acil = 2pi,(10)^2 + 2pi,(10)(20) = 200pi + 400pi = 600pi m^2

Resposta

A área total do cilindro é 600pi m^2.

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