Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a área da superfície de uma esfera igual a
e pede a área total de um cilindro equilátero circunscrito a essa esfera. Vamos usar:
– A fórmula da área de uma esfera,
– A definição de cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro da base) e
– A fórmula da área total de um cilindro.
– A fórmula da área de uma esfera,
– A definição de cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro da base) e
– A fórmula da área total de um cilindro.
Passo 2
Da esfera, seja
o raio. Como a área é
seguimos que
Passo 3
Para o cilindro circunscrito à esfera:
– O raio da base do cilindro é , pois a esfera encosta lateralmente no cilindro.
– A altura do cilindro é o diâmetro da esfera, ou seja
– O raio da base do cilindro é
– A altura do cilindro é o diâmetro da esfera, ou seja
Passo 4
A área total do cilindro é a soma da área lateral com as duas bases:
Substituindo
e
:
Resposta
A área total do cilindro é
.