(UF-BA) Sendo a média aritmética de três números inteiros positivos distintos igual a 60, pode-se afirmar (indique a soma das alternativas corretas):
(01) Pelo menos um dos números é menor que 60.
(02) Nenhum dos números é maior que 177.
(04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60.
(08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000.
(16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.
(32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36,54 e 90 .

Passo 1

Temos três números inteiros positivos distintos cuja média aritmética é 60. Logo, a soma dos três é
180
Vamos verificar cada afirmativa e ver quais são verdadeiras em todas as situações compatíveis com o enunciado.

Passo 2

(01) “Pelo menos um dos números é menor que 60.”
Se todos fossem >=60 e distintos, o menor caso seria 60,61,62, cuja soma é 183>180. Isso contraria a soma fixa de 180. Logo sempre há pelo menos um número <60.
Conclusão: verdadeira.

Passo 3

(02) “Nenhum dos números é maior que 177.”
Se um número fosse >=178, os outros dois somariam no máximo 180-178=2, impossibilitando dois inteiros positivos distintos (o menor somatório seria 1+2=3). Portanto, nenhum pode exceder 177.
Conclusão: verdadeira.

Passo 4

(04) “Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60.”
Em uma PA com termos a, a+d, a+2d, a soma é
a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=180 Longrightarrow a+d=60
O termo do meio é a+d, portanto vale 60.
Conclusão: verdadeira.

Passo 5

(08) “Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000.”
Suponha que um termo seja 60 e os outros dois somem 120, chamando-os de x e 120-x. O produto é
P=60cdot x(120-x)
A função x(120-x) atinge máximo teórico em x=60 (valor 3600), mas para mantê-los distintos de 60 escolhemos x=59 ou 61, dando 59cdot61=3599. Então
P<= 60cdot3599=215940<216000
Conclusão: verdadeira.

Passo 6

(16) “Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.”
Exceto 2, todos os primos são ímpares, e a soma de três ímpares seria ímpar, mas precisamos somar 180 (par). Logo, deve haver o primo par 2.
Conclusão: verdadeira.

Passo 7

(32) “Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36, 54 e 90.”
Escrevendo os números como 18a, 18b, 18c com gcd(a,b,c)=1 e
18(a+b+c)=180 Longrightarrow a+b+c=10
Por exemplo, (a,b,c)=(1,2,7) gera (18,36,126), cuja soma é 180 e gcd=18. Logo não há unicidade no triplo citado.
Conclusão: falsa.

Passo 8

As afirmativas verdadeiras são (01), (02), (04), (08) e (16). Somando seus valores:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

Resposta

31

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