(UF-BA) Sendo a média aritmética de três números inteiros positivos distintos igual a 60, pode-se afirmar (indique a soma das alternativas corretas):
(01) Pelo menos um dos números é menor que 60.
(02) Nenhum dos números é maior que 177.
(04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60.
(08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000.
(16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.
(32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36,54 e 90 .
(01) Pelo menos um dos números é menor que 60.
(02) Nenhum dos números é maior que 177.
(04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60.
(08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000.
(16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.
(32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36,54 e 90 .
Passo 1
Temos três números inteiros positivos distintos cuja média aritmética é 60. Logo, a soma dos três é
Vamos verificar cada afirmativa e ver quais são verdadeiras em todas as situações compatíveis com o enunciado.
Passo 2
(01) “Pelo menos um dos números é menor que 60.”
Se todos fossem e distintos, o menor caso seria
, cuja soma é
. Isso contraria a soma fixa de 180. Logo sempre há pelo menos um número
.
Conclusão: verdadeira.
Se todos fossem
Conclusão: verdadeira.
Passo 3
(02) “Nenhum dos números é maior que 177.”
Se um número fosse , os outros dois somariam no máximo
, impossibilitando dois inteiros positivos distintos (o menor somatório seria
). Portanto, nenhum pode exceder 177.
Conclusão: verdadeira.
Se um número fosse
Conclusão: verdadeira.
Passo 4
(04) “Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60.”
Em uma PA com termos ,
,
, a soma é
Em uma PA com termos
O termo do meio é
, portanto vale 60.
Conclusão: verdadeira.
Conclusão: verdadeira.
Passo 5
(08) “Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000.”
Suponha que um termo seja 60 e os outros dois somem , chamando-os de
e
. O produto é
Suponha que um termo seja 60 e os outros dois somem
A função
atinge máximo teórico em
(valor
), mas para mantê-los distintos de 60 escolhemos
ou
, dando
. Então
Conclusão: verdadeira.
Passo 6
(16) “Se os três números são primos, então um deles é igual a 2.”
Exceto 2, todos os primos são ímpares, e a soma de três ímpares seria ímpar, mas precisamos somar 180 (par). Logo, deve haver o primo par .
Conclusão: verdadeira.
Exceto 2, todos os primos são ímpares, e a soma de três ímpares seria ímpar, mas precisamos somar 180 (par). Logo, deve haver o primo par
Conclusão: verdadeira.
Passo 7
(32) “Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36, 54 e 90.”
Escrevendo os números como ,
,
com
e
Escrevendo os números como
Por exemplo,
gera
, cuja soma é 180 e
. Logo não há unicidade no triplo citado.
Conclusão: falsa.
Conclusão: falsa.
Passo 8
As afirmativas verdadeiras são (01), (02), (04), (08) e (16). Somando seus valores:
Resposta
31