3.2.29 Sendo |xrang<= um vetor coluna N dimensional e lang<= y| um vetor linha N dimensional, mostre que
traço(|xrang<=lang<= y|)=lang<= y mid xrang<= ̧
Nota: |xrang<=lang<= y| significa produto direto de vetor coluna |xrang<= com vetor lang<= y|. O resultado é uma matriz quadrada N times N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a traço do operador externo |xrang<=lang<= y| coincide com o produto interno lang<= ymid xrang<=. O conteúdo é Álgebra Linear (traço, produto externo e produto interno). Para resolver, vamos escrever tudo em componentes, usar a definição de traço como soma dos elementos diagonais e a definição de produto interno.

Passo 2

Escrevendo em componentes: seja |xrang<= = (x1,dots,xN)^T e lang<= y| = (y1^*,dots,yN^*). Então cada elemento do operador externo é
(|xrang<=lang<= y|)ij = xi,yj^*

Passo 3

Lembrando que a traço de uma matriz A é
tr(A) = sumi=1^N Aii
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tr(|xrang<=lang<= y|) = sumi=1^N (|xrang<=lang<= y|)ii = sumi=1^N xi,yi^*

Passo 4

Por outro lado, a definição de produto interno no espaço de Hilbert é
lang<= ymid xrang<= = sumi=1^N yi^*,xi
Como escalares comutam, sumi=1^N xi,yi^* = sumi=1^N yi^*,xi, o que mostra
tr(|xrang<=lang<= y|) = lang<= ymid xrang<=

Resposta

tr(|xrang<=lang<= y|) = lang<= ymid xrang<=

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