3.2.29 Sendo
um vetor coluna
dimensional e
um vetor linha
dimensional, mostre que
Nota:
significa produto direto de vetor coluna
com vetor
. O resultado é uma matriz quadrada
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a traço do operador externo
coincide com o produto interno
. O conteúdo é Álgebra Linear (traço, produto externo e produto interno). Para resolver, vamos escrever tudo em componentes, usar a definição de traço como soma dos elementos diagonais e a definição de produto interno.
Passo 2
Escrevendo em componentes: seja
e
. Então cada elemento do operador externo é
Passo 3
Lembrando que a traço de uma matriz
é
logo
Passo 4
Por outro lado, a definição de produto interno no espaço de Hilbert é
Como escalares comutam,
, o que mostra