3.2.29 Sendo |x\rangle um vetor coluna N dimensional e \langle y| um vetor linha N dimensional, mostre que
\operatorname{traço}(|x\rangle\langle y|)=\langle y \mid x\ranglȩ
Nota: |x\rangle\langle y| significa produto direto de vetor coluna |x\rangle com vetor \langle y|. O resultado é uma matriz quadrada N \times N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a traço do operador externo |x\rangle\langle y| coincide com o produto interno \langle y\mid x\rangle. O conteúdo é Álgebra Linear (traço, produto externo e produto interno). Para resolver, vamos escrever tudo em componentes, usar a definição de traço como soma dos elementos diagonais e a definição de produto interno.

Passo 2

Escrevendo em componentes: seja |x\rangle = (x_1,\dots,x_N)^\mathrm{T} e \langle y| = (y_1^*,\dots,y_N^*). Então cada elemento do operador externo é
(|x\rangle\langle y|)_{ij} = x_i\,y_j^*

Passo 3

Lembrando que a traço de uma matriz A é
\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^N A_{ii}
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\mathrm{tr}(|x\rangle\langle y|) = \sum_{i=1}^N (|x\rangle\langle y|)_{ii} = \sum_{i=1}^N x_i\,y_i^*

Passo 4

Por outro lado, a definição de produto interno no espaço de Hilbert é
\langle y\mid x\rangle = \sum_{i=1}^N y_i^*\,x_i
Como escalares comutam, \sum_{i=1}^N x_i\,y_i^* = \sum_{i=1}^N y_i^*\,x_i, o que mostra
\mathrm{tr}(|x\rangle\langle y|) = \langle y\mid x\rangle

Resposta

\mathrm{tr}(|x\rangle\langle y|) = \langle y\mid x\rangle

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