(UF-BA) Sendo theta o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1sen^2 theta.

Passo 1

O enunciado pede o valor de 1sen^2theta, onde theta é o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas faces. O conteúdo aqui é geometria no espaço, mais precisamente o cálculo do ângulo entre uma reta (a diagonal espacial) e um plano (a face).

Passo 2

Para achar esse ângulo usamos vetores. Seja o cubo de aresta a. Podemos tomar como vetor diretor da diagonal espacial
v = (a,,a,,a),
e como vetor normal à face (por exemplo, a face horizontal) o vetor
n = (0,,0,,1)
A definição do ângulo theta entre reta e plano diz que
sentheta = l|vcdot nr||v|;|n|

Passo 3

Calculando o produto interno e as normas:
vcdot n = acdot0 + acdot0 + acdot1 = a,
|v| = raiza^2 + a^2 + a^2 = araiz3, |n| = 1
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sentheta = aaraiz3cdot1 = 1raiz3

Passo 4

Portanto
1sen^2theta = 1l(1/raiz3r)^2 = 3

Resposta

3

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