A sequência (a1, a2, a3, ldots, an) é uma progressão aritmética de razão 2 e primeiro termo igual a 1. A função f definida por f(x)=a x+b é tal que f(a1), f(a2), f(a3), ldots, f(an) é uma progressão aritmética de razão 6 e primeiro termo igual a 4. Determine o valor de f(2).

Passo 1

O enunciado diz que l(a1,a2,dots,anr) é uma progressão aritmética com primeiro termo ,a1=1 e razão 2. Logo cada termo satisfaz
ak=1+2(k-1)para k=1,2,dots,n
A função é f(x)=ax+b e as imagens f(a1),f(a2),dots,f(an) formam outra progressão aritmética com primeiro termo 4 e razão 6. Queremos achar f(2)=2a+b.

Passo 2

Calcule f sobre os dois primeiros termos da primeira PA.
Para k=1:
f(a1)=f(1)=acdot1+b=a+b
Como esse é o primeiro termo da segunda PA, temos
a+b=4

Passo 3

Para k=2 temos a2=1+2=3, então
f(a2)=f(3)=3a+b
O segundo termo da segunda PA menos o primeiro deve ser a sua razão 6, isto é
f(a2)-f(a1)=(3a+b)-(a+b)=2a=6,
logo
a=3

Passo 4

Substituindo a=3 em a+b=4
3+b=4Longrightarrow b=1
Portanto
f(x)=3x+1,
e em particular
f(2)=3cdot2+1=7

Resposta

7

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