Sabendo que (a, b, c) e (1b, 1c, 1d) são P.A., mostre que 2 a d=c(a+c).

Passo 1

O enunciado diz que (a,b,c) e l(tfrac1b,tfrac1c,tfrac1dr) são progressões aritméticas. Vamos usar a definição de P.A. em cada tripla para obter relações entre a,b,c,d e, por fim, mostrar que
2ad = c(a+c)

Passo 2

Para a P.A. (a,b,c) vale
2b = a + c,
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b = a + c2

Passo 3

Para a P.A. l(tfrac1b,tfrac1c,tfrac1dr) vale
2cdot1c = 1b + 1d
Multiplicando os dois lados por bcd, obtemos
2bd = c,(b + d)

Passo 4

Da equação
2bd = c(b + d)
isolamos d. Como de b = tfraca+c2 segue 2b = a + c, temos
d = bc2b - c = bc(a+c) - c = bca

Passo 5

Finalmente,
2ad = 2a cdot bca = 2bc = c,(2b) = c,(a + c),
como desejado.

Resposta

2ad = c(a+c)

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