Úma sequência \left\{a_{n}\right\} de números reais é definida por a_{1}=1, a_{n-1}=1+a_{1}, a_{2} \ldots a_{n} (n \geq 1). Prove que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}=1.

Passo 1

O enunciado (com uma pequena correção na definição, pois do jeito que está não coincide com o resultado desejado) é o seguinte: temos uma sequência de números reais \{a_n\} definida por
a_1 = 2, \qquad a_{n+1} \;=\; 1 \;+\; \prod_{k=1}^{n}a_k \quad(n\ge1).
O objetivo é provar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_n}=1.
O conteúdo principal aqui é a técnica de soma telescópica, usando o fato de que da definição decorre uma relação entre a_{n+1}-1 e o produto dos a_k.

Passo 2

Defina o produto parcial
P_n \;=\;\prod_{k=1}^n a_k.
Pela própria definição da sequência, para todo n\ge1 temos
a_{n+1}\;=\;1+P_n \quad\Longrightarrow\quad P_n \;=\;a_{n+1}-1.

Passo 3

Para montar a telescopia, observe a diferença
\frac1{P_{n-1}} \;-\;\frac1{P_n} \;=\; \frac{P_n-P_{n-1}}{P_{n-1}\,P_n} \;=\; \frac{(a_n\,P_{n-1})-P_{n-1}}{P_{n-1}\,P_n} \;=\; \frac{P_{n-1}(a_n-1)}{P_{n-1}\,P_n} \;=\; \frac1{a_n},
pois P_n = a_n\,P_{n-1}. Logo obtemos a identidade de telescópio para cada n\ge1:
\frac1{a_n} \;=\; \frac1{P_{n-1}} \;-\; \frac1{P_n}.

Passo 4

Somando a identidade anterior de n=1 até n=N
\sum_{n=1}^N \frac1{a_n} \;=\; \sum_{n=1}^N\Bigl(\frac1{P_{n-1}}-\frac1{P_n}\Bigr) \;=\; \frac1{P_0}\;-\;\frac1{P_N}.
Mas P_0 interpretamos como produto vazio, logo P_0=1. Assim
\sum_{n=1}^N \frac1{a_n} =1-\frac1{P_N}.

Passo 5

Como P_N=\prod_{k=1}^N a_k cresce sem limite quando N\to\infty, temos \tfrac1{P_N}\to0. Logo, fazendo N\to\infty,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_n} =1-0 =1.

Resposta

1

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