Úma sequência
de números reais é definida por
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado (com uma pequena correção na definição, pois do jeito que está não coincide com o resultado desejado) é o seguinte: temos uma sequência de números reais
definida por
O objetivo é provar que
O conteúdo principal aqui é a técnica de soma telescópica, usando o fato de que da definição decorre uma relação entre
e o produto dos
.
Passo 2
Defina o produto parcial
Pela própria definição da sequência, para todo
temos
Passo 3
Para montar a telescopia, observe a diferença
pois
. Logo obtemos a identidade de telescópio para cada
:
Passo 4
Somando a identidade anterior de
até
dá
Mas
interpretamos como produto vazio, logo
. Assim
Passo 5
Como
cresce sem limite quando
, temos
. Logo, fazendo
,