Na série de Maclaurin de uma função real
, obteríamos uma função analítica se substituíssemos
por
?
Passo 1
O enunciado pergunta se, a partir da série de Maclaurin de uma função real
, isto é,
podemos substituir
por uma variável complexa
e obter uma função analítica em
. Para responder precisamos usar conceitos de séries de potências em
, raio de convergência e definição de função holomorfa (analítica).
Passo 2
Lembremos que os coeficientes da série de Maclaurin são
portanto temos a série de potências
Esse passo define a série estendida ao plano complexo.
Passo 3
O raio de convergência
dessa série é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Para
a série converge absolutamente e uniformemente em todo compacto contido no disco
.
Passo 4
Cada termo
é uma função inteira (holomorfa em todo
). Como soma de série de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos, a série
define uma função holomorfa (portanto analítica) no disco
.
Passo 5
Concluímos que, ao substituir
por
, a série de Maclaurin de
passa a representar uma função analítica em
sempre que
estiver dentro do raio de convergência
. Fora desse disco, pode não convergir ou exigir continuação analítica.
Resposta
Sim. A série de Maclaurin estendida para
define uma função analítica (holomorfa) no interior do seu círculo de convergência
.