Na série de Maclaurin de uma função real f(x), obteríamos uma função analítica se substituíssemos x por z ?

Passo 1

O enunciado pergunta se, a partir da série de Maclaurin de uma função real f(x), isto é,
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,
podemos substituir x por uma variável complexa z e obter uma função analítica em z. Para responder precisamos usar conceitos de séries de potências em \mathbb{C}, raio de convergência e definição de função holomorfa (analítica).

Passo 2

Lembremos que os coeficientes da série de Maclaurin são
a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},
portanto temos a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n.
Esse passo define a série estendida ao plano complexo.

Passo 3

O raio de convergência R dessa série é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Para |z|<R a série converge absolutamente e uniformemente em todo compacto contido no disco \{z:|z|<R\}.

Passo 4

Cada termo a_n z^n é uma função inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}). Como soma de série de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos, a série
\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n
define uma função holomorfa (portanto analítica) no disco |z|<R.

Passo 5

Concluímos que, ao substituir x por z, a série de Maclaurin de f passa a representar uma função analítica em z sempre que |z| estiver dentro do raio de convergência R. Fora desse disco, pode não convergir ou exigir continuação analítica.

Resposta

Sim. A série de Maclaurin estendida para \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n define uma função analítica (holomorfa) no interior do seu círculo de convergência \{z:|z|<R\}.

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