Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
\operatorname{sen}^{2} z, 0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (ou Taylor em torno de 0) de \operatorname{sen}^2z e o seu raio de convergência. Vamos usar a identidade trigonométrica para reduzir \operatorname{sen}^2z a uma combinação de 1 e \cos(2z), e depois empregar a série de Maclaurin de \cos w.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^2z = \frac{1 - \cos(2z)}{2}.
Isso transforma o problema em obter a expansão de \cos(2z) e, em seguida, combinar termos.

Passo 3

A série de Maclaurin de \cos w é
\cos w = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{w^{2n}}{(2n)!}.
Fazendo w=2z, obtemos
\cos(2z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{(2z)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{2^{2n}\,z^{2n}}{(2n)!}.

Passo 4

Substituindo em \operatorname{sen}^2z=\tfrac12-\tfrac12\cos(2z) e simplificando:
\operatorname{sen}^2z = \frac12 \;-\;\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{2^{2n}\,z^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\;z^{2n}.
De fato, o termo n=0 da soma anula o \tfrac12, e para n\ge1 cada coeficiente fica
-\frac12(-1)^n\frac{2^{2n}}{(2n)!} =(-1)^{n-1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}.

Passo 5

Para o raio de convergência usamos o teste da razão sobre o geral
a_n = (-1)^{\,n-1}\,\frac{2^{2n-1}}{(2n)!} \quad\text{em frente a }z^{2n}.
Como (2n)! cresce mais rápido que 2^{2n}, a razão tende a zero para todo z. Logo, o raio de convergência é infinito.

Resposta

\operatorname{sen}^2z = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\;z^{2n},
Raio de convergência: R = +\infty.

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