Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (ou Taylor em torno de
) de
e o seu raio de convergência. Vamos usar a identidade trigonométrica para reduzir
a uma combinação de
e
, e depois empregar a série de Maclaurin de
.
Passo 2
Usamos a identidade
Isso transforma o problema em obter a expansão de
e, em seguida, combinar termos.
Passo 3
A série de Maclaurin de
é
Fazendo
, obtemos
Passo 4
Substituindo em
e simplificando:
De fato, o termo
da soma anula o
, e para
cada coeficiente fica
Passo 5
Para o raio de convergência usamos o teste da razão sobre o geral
Como
cresce mais rápido que
, a razão tende a zero para todo
. Logo, o raio de convergência é infinito.
Resposta
Raio de convergência:
.