Simplifique a expressão racional.
\frac{x-2}{2 x^{2}-7 x-15}-\frac{1}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{x-2}{2x^{2}-7x-15} \;-\;\frac{1}{2x+3}.
Para isso, vamos usar fatoração de polinômios e buscar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.

Passo 2

Fatoramos o denominador da primeira fração. Buscamos dois números que multiplicados dão 2\cdot(-15)=-30 e somados dão -7. Esses números são -10 e 3. Assim,
2x^{2}-7x-15 = (2x+3)(x-5).

Passo 3

Agora escrevemos cada fração com o mesmo denominador (2x+3)(x-5). A primeira já está sobre esse denominador:
\frac{x-2}{2x^{2}-7x-15} = \frac{x-2}{(2x+3)(x-5)}.
Para a segunda, multiplicamos numerador e denominador por (x-5):
\frac{1}{2x+3} = \frac{x-5}{(2x+3)(x-5)}.

Passo 4

Subtraindo as duas frações com mesmo denominador, juntamos os numeradores:
\frac{x-2}{(2x+3)(x-5)} \;-\;\frac{x-5}{(2x+3)(x-5)} = \frac{(x-2)-(x-5)}{(2x+3)(x-5)}.
No numerador,
(x-2)-(x-5) = x - 2 - x + 5 = 3.

Resposta

\frac{3}{(2x+3)(x-5)}.

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