Simplifique a expressão racional.
\frac{\frac{3 x^{2}+5 x-8}{x^{3}-1}}{\frac{3 x+8}{x^{2}+x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a simplificação da expressão racional abaixo, envolvendo frações de frações:
\frac{\frac{3x^{2}+5x-8}{x^{3}-1}}{\frac{3x+8}{x^{2}+x+1}}
O conteúdo necessário inclui fatoração de polinômios (quadrático e diferença de cubos) e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o polinômio quadrático 3x^{2}+5x-8 por agrupamento de termos:
3x^{2}+5x-8 = 3x^{2}+8x -3x -8 = x(3x+8) -1(3x+8) = (x-1)(3x+8).

Passo 3

Fatoramos a diferença de cubos x^{3}-1 usando a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}):
x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão original e escrevendo como produto de frações, temos:
\frac{\frac{(x-1)(3x+8)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}{\frac{3x+8}{x^{2}+x+1}} = \frac{3x+8}{x^{2}+x+1} \;\times\; \frac{x^{2}+x+1}{3x+8}.

Passo 5

No produto acima cancelam-se os fatores iguais em numerador e denominador (3x+8) e (x^{2}+x+1), restando simplesmente
1.

Passo 6

Observação sobre domínio: para que a expressão original esteja bem definida é preciso ter
x\neq 1,\quad x\neq -\tfrac{8}{3},\quad x^{2}+x+1\neq 0.
Sob essas condições, o valor simplificado é 1.

Resposta

1

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