Simplifique a expressão racional.
\frac{4}{x+3}-\frac{2}{x+4}-\frac{2 x+3}{x^{2}+7 x+12}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\displaystyle \frac{4}{x+3} - \frac{2}{x+4} - \frac{2x+3}{x^{2}+7x+12}.
O conteúdo envolvido é a soma e subtração de frações algébricas, para o que precisaremos fatorar denominares e usar denominador comum.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador quadrático
x^{2} + 7x + 12 = (x+3)(x+4).

Passo 3

O denominador comum das três frações é (x+3)(x+4). Reescrevendo cada termo com esse denominador:
\frac{4}{x+3} = \frac{4(x+4)}{(x+3)(x+4)}, \quad \frac{2}{x+4} = \frac{2(x+3)}{(x+3)(x+4)}, \quad \frac{2x+3}{x^{2}+7x+12} = \frac{2x+3}{(x+3)(x+4)}.

Passo 4

Agora combinamos os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{4(x+4) - 2(x+3) - (2x+3)}{(x+3)(x+4)}.
Expandindo o numerador:
4(x+4) - 2(x+3) - (2x+3) = (4x+16) - (2x+6) - (2x+3) = 4x + 16 - 2x - 6 - 2x - 3.
Somando termos semelhantes no numerador dá
(4x - 2x - 2x) + (16 - 6 - 3) = 0x + 7 = 7.

Passo 5

Portanto a expressão simplificada é
\frac{7}{(x+3)(x+4)}.
Não há mais fatores comuns para cancelar.

Resposta

\frac{7}{(x+3)(x+4)}.

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