Simplifique a expressão racional.
\frac{4}{x^{2}+5 x+6}+\frac{x-2}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{4}{x^{2}+5x+6} \;+\;\frac{x-2}{x+3}.
Aqui vamos usar operações com frações algébricas: fatoração de polinômios, obtenção de denominador comum e soma de frações.

Passo 2

Fatoramos o denominador quadrático x^{2}+5x+6. Temos
x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3).

Passo 3

O denominador comum às duas frações é (x+2)(x+3). Reescrevemos cada termo sobre esse denominador:
\frac{4}{x^{2}+5x+6} = \frac{4}{(x+2)(x+3)},
\frac{x-2}{x+3} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+3)(x+2)}.

Passo 4

Somamos as frações, mantendo o denominador comum, e simplificamos o numerador:
\frac{4}{(x+2)(x+3)} + \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{4 + (x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)}.
Como (x-2)(x+2)=x^{2}-4, o numerador fica
4 + (x^{2}-4) = x^{2}.

Passo 5

Não há fatores comuns entre o numerador x^{2} e o denominador (x+2)(x+3), então a forma final é

Resposta

\frac{x^{2}}{(x+2)(x+3)},
com x\neq -2,-3.

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