(UE-CE) No sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação da circunferência inscrita no quadrado representado pela equação |x|+|y|=1 é:
a) 2 x^2+2 y^2+1=0
b) x^2+y^2-1=0
c) 2 x^2+2 y^2-1=0
d) x^2+y^2-2=0

Passo 1

O enunciado nos dá o quadrado “em losango” definido por
|x| + |y| = 1
que é um quadrado de centro na origem, cujos lados são as retas
;x+y=1,;x-y=1,;-x+y=1,;-x-y=1.
Queremos a circunferência inscrita nesse quadrado, ou seja, a de maior raio que couber dentro, centrada na origem.

Passo 2

A circunferência inscrita em um polígono convexo centrado na origem tem raio igual à distância mínima da origem a um de seus lados. Tomando, por exemplo, o lado dado por
x + y = 1,
a distância de (0,0) a essa reta é, pela fórmula de distância ponto–reta,
r = l|0 + 0 - 1r|raiz1^2 + 1^2 = 1raiz2

Passo 3

Logo o raio da circunferência inscrita é
r = 1raiz2

Passo 4

A equação de uma circunferência de centro na origem e raio r é
x^2 + y^2 = r^2
Substituindo r^2 = l(tfrac1raiz2r)^2 = tfrac12, obtemos
x^2 + y^2 = tfrac12 Long<=ftrightarrow 2x^2 + 2y^2 - 1 = 0

Resposta

c) 2x^2 + 2y^2 - 1 = 0

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