(ITA-98) Considere as afirmaçöes sobre poligonos convexos:
(I) Existe apenas um poligono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
(II) Nalo existe poligono cujo número de diagonais seja o quiddruplo do número do lados.
(III) Se a razăo entre o número de diagonais e o de lados de um poligono é um número natural, entío o número de lados do poligono é impar.
Entäo:
a) Todas as afirmaçöes são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) săo verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado trata de polígonos convexos com n lados e pede para avaliar três afirmações envolvendo o número de diagonais D e o número de lados n. O conteúdo é geometria combinatória de polígonos e vamos precisar da fórmula geral
D = \frac{n(n-3)}{2}.

Passo 2

Derivação da fórmula: em um polígono de n vértices cada vértice se liga por diagonais a n-3 outros vértices (exceto a si mesmo e aos dois adjacentes), gerando n(n-3) “ligações”, mas cada diagonal foi contada duas vezes, logo
D = \frac{n(n-3)}{2}.

Passo 3

Análise de (I): “Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.”
Igualando D=n:
\frac{n(n-3)}{2} = n
n(n-3) = 2n
n^2 -3n -2n = 0
n(n-5)=0
n=5 \quad(\text{válido})á
Logo há um único caso, o pentágono ( n=5). A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 4

Análise de (II): “Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.”
Igualando D=4n:
\frac{n(n-3)}{2} = 4n
n(n-3) = 8n
n-3 = 8 \quad(\text{dividindo por }n\neq0)
n = 11
Existe um polígono de 11 lados com D=44=4\cdot11, portanto (II) é falsa.

Passo 5

Análise de (III): “Se \tfrac{D}{n} é natural, então n é ímpar.”
Calcula-se
\frac{D}{n} = \frac{\frac{n(n-3)}{2}}{n} = \frac{n-3}{2}.
Esse quociente é inteiro se, e só se, n-3 for par, i.e., n for ímpar. Logo (III) é verdadeira.

Passo 6

Das três afirmações, (I) e (III) são verdadeiras e (II) é falsa, correspondendo à alternativa (b).

Resposta

(b)

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