(ITA-98) Considere as afirmaçöes sobre poligonos convexos:
(I) Existe apenas um poligono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
(II) Nalo existe poligono cujo número de diagonais seja o quiddruplo do número do lados.
(III) Se a razăo entre o número de diagonais e o de lados de um poligono é um número natural, entío o número de lados do poligono é impar.
Entäo:
a) Todas as afirmaçöes são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) săo verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
(I) Existe apenas um poligono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
(II) Nalo existe poligono cujo número de diagonais seja o quiddruplo do número do lados.
(III) Se a razăo entre o número de diagonais e o de lados de um poligono é um número natural, entío o número de lados do poligono é impar.
Entäo:
a) Todas as afirmaçöes são verdadeiras.
b) Apenas (I) e (III) săo verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d) Apenas (III) é verdadeira.
Passo 1
O enunciado trata de polígonos convexos com
lados e pede para avaliar três afirmações envolvendo o número de diagonais
e o número de lados
. O conteúdo é geometria combinatória de polígonos e vamos precisar da fórmula geral
Passo 2
Derivação da fórmula: em um polígono de
vértices cada vértice se liga por diagonais a
outros vértices (exceto a si mesmo e aos dois adjacentes), gerando
“ligações”, mas cada diagonal foi contada duas vezes, logo
Passo 3
Análise de (I): “Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.”
Igualando :
Igualando
Logo há um único caso, o pentágono (
). A afirmação (I) é verdadeira.
Passo 4
Análise de (II): “Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.”
Igualando :
Igualando
Existe um polígono de 11 lados com
, portanto (II) é falsa.
Passo 5
Análise de (III): “Se
é natural, então
é ímpar.”
Calcula-se
Calcula-se
Esse quociente é inteiro se, e só se,
for par, i.e.,
for ímpar. Logo (III) é verdadeira.
Passo 6
Das três afirmações, (I) e (III) são verdadeiras e (II) é falsa, correspondendo à alternativa (b).
Resposta
(b)