(UF-MA) Sobre os lados opostos AB e C D de um retângulo A B C D são marcados, respectivamente, os pontos P e Q . A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a:

Passo 1

O enunciado dá um retângulo ABCD e marca pontos P em AB e Q em CD. Sabe-se que
Área(AQB)+Área(CPD)=240 ÁÁ
u.a.
Vamos usar geometria analítica, colocando o retângulo num sistema de coordenadas, e aplicar a fórmula da área de triângulo via determinante.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0), B=(a,0), C=(a,b), D=(0,b)
Seja P um ponto genérico em AB e Q um ponto genérico em CD, tomados como
P=(x,0), Q=(t,b),
onde 0<= x,t<= a. Aqui a e b são, respectivamente, as larguras e alturas do retângulo.

Passo 3

Para o triângulo AQB usamos os vetores
AB=(a,0) e AQ=(t,b).
A área é
Área(AQB) =12l|det(AB,AQ)r| =12l|acdot b-0cdot tr| =12,ab Á

Passo 4

Para o triângulo CPD tomamos os vetores a partir de C:
CD=(-a,0) e CP=(x-a,-b).
A área é
Área(CPD) =12l|det(CD,CP)r| =12l|(-a)cdot(-b)-0cdot(x-a)r| =12,ab Á

Passo 5

Somando as duas áreas obtém-se
Área(AQB)+Área(CPD) =tfrac12ab+tfrac12ab =ab ÁÁ
Como o enunciado informa que essa soma vale 240, concluímos
ab=240
Mas ab é exatamente a área do retângulo ABCD.

Resposta

240 u.a.

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