(UF-MA) Sobre os lados opostos AB e de um retângulo são marcados, respectivamente, os pontos P e Q . A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a:
Passo 1
O enunciado dá um retângulo e marca pontos em e em . Sabe-se que
u.a.
Vamos usar geometria analítica, colocando o retângulo num sistema de coordenadas, e aplicar a fórmula da área de triângulo via determinante.
Passo 2
Escolhemos
Seja um ponto genérico em e um ponto genérico em , tomados como
onde . Aqui e são, respectivamente, as larguras e alturas do retângulo.
Passo 3
Para o triângulo usamos os vetores e AQ=(t,b).
A área é
Área(AQB) =12l|det(AB,AQ)r| =12l|acdot b-0cdot tr| =12,ab Á
Passo 4
Para o triângulo CPD tomamos os vetores a partir de C: CD=(-a,0) e CP=(x-a,-b).
A área é
Área(CPD) =12l|det(CD,CP)r| =12l|(-a)cdot(-b)-0cdot(x-a)r| =12,ab Á
Passo 5
Somando as duas áreas obtém-se
Área(AQB)+Área(CPD) =tfrac12ab+tfrac12ab =ab ÁÁ
Como o enunciado informa que essa soma vale 240, concluímos
ab=240
Mas ab é exatamente a área do retângulo ABCD.
Resposta
240 u.a.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 256