(UE-CE) Considere em um plano o triângulo MNO, retângulo em O, e o triângulo NOP, retângulo em N. Estes triângulos são tais que o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q e a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN. Se a medida do ângulo ang<= QMO é 21^circ, então a medida do ângulo ang<= NMQ é
a) 25^circ.
b) 28^circ.
c) 35^circ.
d) 42^circ.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos.
– Temos o triângulo PQ = 2,MN retângulo em ang<= QMO = 21^circ (logo ang<= NMQ, ) e o triângulo retângulo em (logo ).
– Os vértices estão dispostos de modo que e ficam em lados opostos da reta , de forma que o segmento cruza no ponto .
– Foi dado que
e também que
O que nos pede é
O conteúdo principal é geometria analítica (colocação em coordenadas) e trigonometria (relação de comprimentos e ângulos).

Passo 2

Escolhemos eixos de coordenadas de modo conveniente:
– Colocamos .
– A reta fica no eixo , de modo que com .
– Como é retângulo em , o ponto está sobre a reta perpendicular em , no eixo ; seja com .
– Como é retângulo em , o ponto está sobre a reta perpendicular em ; para que a reta cruze o eixo (reta ) em um ponto interior ao segmento , colocamos com .

Passo 3

Determinamos o ponto l(x,yr) =;M+t,(P-M) =(0,b)+tl(a,-(b-c)r), como interseção da reta b ;-;t,(b-c)=0 Longrightarrow t=b,b-c,, com o eixo Q =l(;a;b,b-c,,;0r) ( ).
Parametrizando de até :
Para chegar a faz-se
logo

Passo 4

Usamos a condição cosang<= QMO =(0,-b)cdotl(atfracbb-c,-br) l|(0,-b)r|, l|(atfracbb-c,-b)r| =b^2,bcdotraizl(atfracbb-cr)^2+b^2, =braiza^2+(b-c)^2/l|b-cr|; . No ponto a = (b-c),tan21^circ , a reta tem direção e a reta tem direção .
O cosseno do ângulo entre esses vetores é
que deve ser .
Dessa igualdade segue (após simplificar)

Passo 5

Agora impomos a outra condição b,b-c,approx0,1306 .
.
é a distância de a .
Fazendo e usando , obtemos uma equação em termos da razão .
Resolvendo-a numericamente fica

Passo 6

Finalmente, queremos ang<= NMQ =ang<= NMO ;-;ang<= QMO . No triângulo de vértices ang<= NMO approxarctan!l(tfractan21^circ0,1306r) approx63^circ Longrightarrow ang<= NMQapprox63^circ-21^circ=42^circ , esse ângulo é a diferença
Já sabemos e .
Como e , calcula-se

Resposta

d)