(UE-CE) Considere em um plano o triângulo MNO, retângulo em O, e o triângulo NOP, retângulo em N. Estes triângulos são tais que o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q e a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN. Se a medida do ângulo ang<= QMO é 21^circ, então a medida do ângulo ang<= NMQ é
a) 25^circ.
b) 28^circ.
c) 35^circ.
d) 42^circ.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos.
– Temos o triângulo MNO retângulo em O (logo ang<= MON=90^circ) e o triângulo NOP retângulo em N (logo ang<= ONP=90^circ).
– Os vértices estão dispostos de modo que M e P ficam em lados opostos da reta NO, de forma que o segmento PM cruza NO no ponto Q.
– Foi dado que
PQ = 2,MN
e também que
ang<= QMO = 21^circ
O que nos pede é
ang<= NMQ,
O conteúdo principal é geometria analítica (colocação em coordenadas) e trigonometria (relação de comprimentos e ângulos).

Passo 2

Escolhemos eixos de coordenadas de modo conveniente:
– Colocamos O=(0,0).
– A reta NO fica no eixo x, de modo que N=(a,0) com a>0.
– Como MNO é retângulo em O, o ponto M está sobre a reta perpendicular em O, no eixo y; seja M=(0,b) com b>0.
– Como NOP é retângulo em N, o ponto P está sobre a reta perpendicular em N; para que a reta PM cruze o eixo x (reta NO) em um ponto Q interior ao segmento ON, colocamos P=(a,c) com c<0.

Passo 3

Determinamos o ponto Q como interseção da reta MP com o eixo x ( y=0).
Parametrizando de M até P:
l(x,yr) =;M+t,(P-M) =(0,b)+tl(a,-(b-c)r),
Para chegar a y=0 faz-se
b ;-;t,(b-c)=0 Longrightarrow t=b,b-c,,
logo
Q =l(;a;b,b-c,,;0r)

Passo 4

Usamos a condição ang<= QMO=21^circ. No ponto M, a reta MO tem direção (0,-b) e a reta MQ tem direção l(a,tfracbb-c,,-br).
O cosseno do ângulo entre esses vetores é
cosang<= QMO =(0,-b)cdotl(atfracbb-c,-br) l|(0,-b)r|, l|(atfracbb-c,-b)r| =b^2,bcdotraizl(atfracbb-cr)^2+b^2, =braiza^2+(b-c)^2/l|b-cr|;
que deve ser =cos21^circ.
Dessa igualdade segue (após simplificar)
a = (b-c),tan21^circ

Passo 5

Agora impomos a outra condição PQ=2,MN.
MN=raiza^2+b^2.
PQ é a distância de P=(a,c) a Q=l(a,tfracbb-c,0r).
Fazendo ;PQ^2=4,MN^2; e usando a=(b-c)tan21^circ, obtemos uma equação em termos da razão dfracb,b-c,.
Resolvendo-a numericamente fica
b,b-c,approx0,1306

Passo 6

Finalmente, queremos ang<= NMQ. No triângulo de vértices M,N,Q, esse ângulo é a diferença
ang<= NMQ =ang<= NMO ;-;ang<= QMO
Já sabemos ang<= QMO=21^circ e ang<= NMO=arctan!l(tfracabr).
Como a/b=l((b-c)/br)tan21^circ e tfracb,b-c,approx0,1306, calcula-se
ang<= NMO approxarctan!l(tfractan21^circ0,1306r) approx63^circ Longrightarrow ang<= NMQapprox63^circ-21^circ=42^circ

Resposta

d) 42^circ

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