(UE-CE) Considere em um plano o triângulo MNO, retângulo em O, e o triângulo NOP, retângulo em N. Estes triângulos são tais que o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q e a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN. Se a medida do ângulo é , então a medida do ângulo NMQ é
a) .
b) .
c) .
d) .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos.
– Temos o triângulo retângulo em (logo ) e o triângulo retângulo em (logo ).
– Os vértices estão dispostos de modo que e ficam em lados opostos da reta , de forma que o segmento cruza no ponto .
– Foi dado que
e também que
O que nos pede é
O conteúdo principal é geometria analítica (colocação em coordenadas) e trigonometria (relação de comprimentos e ângulos).
Passo 2
Escolhemos eixos de coordenadas de modo conveniente:
– Colocamos .
– A reta fica no eixo , de modo que com .
– Como é retângulo em , o ponto está sobre a reta perpendicular em , no eixo ; seja com .
– Como é retângulo em , o ponto está sobre a reta perpendicular em ; para que a reta cruze o eixo (reta ) em um ponto interior ao segmento , colocamos com .
Passo 3
Determinamos o ponto como interseção da reta com o eixo ().
Parametrizando de até :
Para chegar a faz-se
logo
Passo 4
Usamos a condição . No ponto , a reta tem direção e a reta tem direção .
O cosseno do ângulo entre esses vetores é
que deve ser =cos21^circ.
Dessa igualdade segue (após simplificar)
a = (b-c),tan21^circ
Passo 5
Agora impomos a outra condição PQ=2,MN.
– MN=raiza^2+b^2.
– PQ é a distância de P=(a,c) a Q=l(a,tfracbb-c,0r).
Fazendo ;PQ^2=4,MN^2; e usando a=(b-c)tan21^circ, obtemos uma equação em termos da razão dfracb,b-c,.
Resolvendo-a numericamente fica
b,b-c,approx0,1306
Passo 6
Finalmente, queremos ang<= NMQ. No triângulo de vértices M,N,Q, esse ângulo é a diferença
ang<= NMQ =ang<= NMO ;-;ang<= QMO
Já sabemos ang<= QMO=21^circ e ang<= NMO=arctan!l(tfracabr).
Como a/b=l((b-c)/br)tan21^circ e tfracb,b-c,approx0,1306, calcula-se
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 77