(UF-MT) Sobre o número natural n=2^40-1, considere as seguintes afirmativas:
I. n é um múltiplo de 31.
II. n é um múltiplo de 5 .
III. n é um número primo.
IV. n é um número par.
Estão corretas as afirmativas
a) III e IV.
b) II e III.
c) II e IV.
d) I e II.
e) I e III.

Passo 1

O enunciado define o número natural n = 2^40 - 1 e pede para verificar as afirmativas de divisibilidade, primalidade e paridade. O conteúdo aqui é teste de divisibilidade por um dado módulo, análise de primalidade e paridade de números da forma 2^k-1.

Passo 2

Para ver se n é múltiplo de 31, notamos que
2^5 = 32 equiv 1 pmod31
Logo
2^40 = (2^5)^8 equiv 1^8 = 1 pmod31
e portanto
n = 2^40-1 equiv 1-1 = 0 pmod31,
isto é, n é múltiplo de 31. A afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Para ver se n é múltiplo de 5, usamos que
2^4 = 16 equiv 1 pmod5
Logo
2^40 = (2^4)^10 equiv 1^10 = 1 pmod5
e
n = 2^40-1 equiv 1-1 = 0 pmod5,
isto é, n é múltiplo de 5. A afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Como n tem pelo menos os divisores 5 e 31, ele não pode ser primo. Logo a afirmativa III é falsa.

Passo 5

Sendo 2^40 um número par, 2^40-1 é ímpar. Portanto a afirmativa IV é falsa.

Resposta

d) I e II.

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