(UF-PE) Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5, podemos afirmar que:
0-0) um dos ângulos internos do triângulo mede
.
1-1) o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro da medida do menor dos ângulos internos do triângulo.
2-2) a área deste triângulo é 17,5.
3-3) o triângulo é obtusângulo.
4-4) o menor dos ângulos internos tem seno igual a
.
1-1) o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro da medida do menor dos ângulos internos do triângulo.
2-2) a área deste triângulo é 17,5.
3-3) o triângulo é obtusângulo.
4-4) o menor dos ângulos internos tem seno igual a
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo com lados de comprimentos
. Vamos usar:
– A Lei dos Cossenos para encontrar as medidas dos três ângulos.
– A fórmula de Heron para calcular a área.
Com isso podemos verificar cada uma das afirmações de -
a
-
.
– A Lei dos Cossenos para encontrar as medidas dos três ângulos.
– A fórmula de Heron para calcular a área.
Com isso podemos verificar cada uma das afirmações de
Passo 2
Aplicando a Lei dos Cossenos para obter os três ângulos
,
e
opostos, respectivamente, aos lados de comprimento
,
e
:
A = \arccos!\bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)\approx81,8^\circ
]
]
B = \arccos(0,5)=60^\circ
]
]
C = \arccos!\bigl(\tfrac{11}{14}\bigr)\approx38,2^\circ
]
]
Passo 3
Afirmação
-
: “um dos ângulos internos ···{} mede
”.
Vimos que .
Logo, -
é verdadeira.
Vimos que
Logo,
Passo 4
Afirmação
-
: “o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro do menor”.
O maior é e o menor é
.
Como e
,
-
é verdadeira.
O maior é
Como
Passo 5
Afirmação
-
: “a área deste triângulo é
”.
Pelo semiperímetro e fórmula de Heron:
Pelo semiperímetro
Não é
, logo
-
é falsa.
Passo 6
Afirmação
-
: “o triângulo é obtusângulo”.
Como todos os ângulos calculados ( ,
,
) são menores que
, o triângulo é acutângulo, não obtusângulo.
Portanto, -
é falsa.
Como todos os ângulos calculados (
Portanto,
Passo 7
Afirmação
-
: “o menor dos ângulos internos tem seno igual a
”.
O menor é com
. Então
O menor é
Logo,
-
é verdadeira.
Resposta
As afirmações verdadeiras são
-
,
-
e
-
.