(UF-PE) Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5, podemos afirmar que:
0-0) um dos ângulos internos do triângulo mede 60^circ.
1-1) o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro da medida do menor dos ângulos internos do triângulo.
2-2) a área deste triângulo é 17,5.
3-3) o triângulo é obtusângulo.
4-4) o menor dos ângulos internos tem seno igual a 5 raiz314.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo com lados de comprimentos ,5,,7,,8. Vamos usar:
– A Lei dos Cossenos para encontrar as medidas dos três ângulos.
– A fórmula de Heron para calcular a área.
Com isso podemos verificar cada uma das afirmações de 0- 0 a 4- 4.

Passo 2

Aplicando a Lei dos Cossenos para obter os três ângulos A, B e C opostos, respectivamente, aos lados de comprimento 8, 7 e 5:
cos A = 7^2 + 5^2 - 8^22cdot7cdot5 = 49 + 25 - 6470 = 1070 = 17
A = arccos!l(tfrac17r)approx81,8^circ
cos B = 8^2 + 5^2 - 7^22cdot8cdot5 = 64 + 25 - 4980 = 4080 = 0,5
B = arccos(0,5)=60^circ
cos C = 8^2 + 7^2 - 5^22cdot8cdot7 = 64 + 49 - 25112 = 88112 = 1114
C = arccos!l(tfrac1114r)approx38,2^circ

Passo 3

Afirmação 0- 0: “um dos ângulos internos ···{} mede 60^circ”.
Vimos que B=60^circ.
Logo, 0- 0 é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 1- 1: “o maior dos ângulos internos mede mais que o dobro do menor”.
O maior é Aapprox81,8^circ e o menor é Capprox38,2^circ.
Como 2Capprox76,4^circ e 81,8^circ>76,4^circ, 1- 1 é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 2- 2: “a área deste triângulo é 17,5”.
Pelo semiperímetro s=5+7+82=10 e fórmula de Heron:
Área = raizs(s-5)(s-7)(s-8) = raiz10cdot5cdot3cdot2 = raiz300 =10raiz3approx17,32 Á
Não é 17,5, logo 2- 2 é falsa.

Passo 6

Afirmação 3- 3: “o triângulo é obtusângulo”.
Como todos os ângulos calculados ( 81,8^circ, 60^circ, 38,2^circ) são menores que 90^circ, o triângulo é acutângulo, não obtusângulo.
Portanto, 3- 3 é falsa.

Passo 7

Afirmação 4- 4: “o menor dos ângulos internos tem seno igual a tfrac5raiz314”.
O menor é C com cos C=tfrac1114. Então
sin C = raiz1 - cos^2 C = raiz1 - l(tfrac1114r)^2 = raiztfrac75196 = 5raiz314
Logo, 4- 4 é verdadeira.

Resposta

As afirmações verdadeiras são 0- 0, 1- 1 e 4- 4.

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