1. A soma de dois números é 48 e o mmc, 140. Determine-os.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números inteiros positivos cuja soma é 48 e cujo mínimo múltiplo comum (mmc) é 140. O conteúdo aqui é teoria dos números, mais especificamente as relações entre máximo divisor comum (mdc) e mmc. Vamos usar a fatoração em termos de d=gcd(x,y) e números coprimos a,b tais que x=d,a e y=d,b.

Passo 2

Como gcd(a,b)=1, vale a fórmula
lcm(x,y);=;d,a,b
e também
x+y=d,(a+b)=48
Portanto temos o sistema
d,a,b=140, d,(a+b)=48, gcd(a,b)=1

Passo 3

Da primeira equação segue que d divide 140 e da segunda que d divide 48. Logo d deve ser divisor de gcd(140,48)=4. Assim testamos din1,2,4.

Passo 4

Para cada d calculamos
a,b=140d, a+b=48d,
e buscamos pares (a,b) coprimos:
  • d=1: ab=140,;a+b=48 não há soluções inteiras.
  • d=2: ab=70,;a+b=24 não há soluções inteiras.
  • d=4: ab=35,;a+b=12. Os fatores de 35 são (5,7), que somam 12 e são coprimos.

Passo 5

Com d=4, a=5, b=7 temos
x=d,a=4cdot5=20, y=d,b=4cdot7=28
Confere que 20+28=48 e lcm(20,28)=140.

Resposta

Os números são 20 e 28.

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