- A soma de dois números é 48 e o mmc, 140. Determine-os.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois números inteiros positivos cuja soma é
e cujo mínimo múltiplo comum (mmc) é
. O conteúdo aqui é teoria dos números, mais especificamente as relações entre máximo divisor comum (mdc) e mmc. Vamos usar a fatoração em termos de
e números coprimos
tais que
e
.
Passo 2
Como
, vale a fórmula
e também
Portanto temos o sistema
Passo 3
Da primeira equação segue que
divide
e da segunda que
divide
. Logo
deve ser divisor de
. Assim testamos
.
Passo 4
Para cada
calculamos
e buscamos pares
coprimos:
-
: não há soluções inteiras. -
: não há soluções inteiras. -
: . Os fatores de são , que somam e são coprimos.
Passo 5
Com
,
,
temos
Confere que
e
.
Resposta
Os números são
e
.