- Três automóveis disputam uma corrida numa pista circular. O primeiro dá cada volta em 4 minutos, o segundo em 5 minutos e o terceiro em 6 minutos. No fim de quanto tempo voltarão a se encontrar, no inicio da pista, se eles partirem juntos?
Passo 1
O enunciado diz que três carros dão voltas numa pista circular em tempos periódicos de
,
e
minutos, respectivamente, saindo juntos do ponto de largada. Queremos saber em quanto tempo eles voltarão todos juntos ao ponto de largada pela primeira vez. Esse é um problema de evento periódico simultâneo, que se resolve calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos.
Passo 2
Para que todos cheguem juntos ao ponto de largada num tempo
, esse
precisa ser múltiplo de cada um dos períodos. Em outras palavras, devem existir inteiros
tais que
O menor
que satisfaz isso é exatamente o MMC de
,
e
.
Passo 3
Vamos achar o MMC por fatoração em primos:
Para o MMC, tomamos cada fator com o maior expoente:
Passo 4
Portanto, o primeiro instante positivo em que todos os três carros retornam juntos ao ponto de largada é de
minutos após a largada.
Resposta
Eles vão se encontrar novamente no início da pista após
minutos.