(UF-ES) Para que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 3,6,12,24, ldots seja um número compreendido entre 50000 e 100000, devemos tornar n igual a:
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13

Passo 1

O enunciado dá a progressão geométrica cujos três primeiros termos são 3,6,12, ou seja, a1=3 e razão q=2. Queremos encontrar n tal que a soma dos n primeiros termos, Sn, esteja entre 50000 e 100000. O conteúdo aqui é soma de termos de uma PG finita.

Passo 2

A soma dos n primeiros termos de uma PG de razão qneq1 é
Sn = a1,q^n - 1q - 1
Substituindo a1=3 e q=2, temos
Sn = 3,2^n - 12 - 1 = 3,(2^n - 1)

Passo 3

Queremos
50000 < Sn < 100000,
ou seja,
50000 < 3,(2^n - 1) < 100000
Somando 3 a cada termo e dividindo por 3, obtém-se
50000 + 33 < 2^n < 100000 + 33,
ou seja,
16667,67 < 2^n < 33334,33

Passo 4

Agora testamos valores inteiros de n:
Para n=14, 2^14=16384, S14=3,(16384-1)=49149<50000
Para n=15, 2^15=32768, S15=3,(32768-1)=98301, que satisfaz 50000<S15<100000.
Para n=16, 2^16=65536, S16=3,(65536-1)=196605>100000

Passo 5

Concluímos que o único n inteiro que faz 50000<Sn<100000 é n=15.

Resposta

b) 15

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