(UF-PE) Suponha que seu nutricionista recomendou que você tomasse 350 mg de vitamina C, 4200 UI de vitamina A e 500 UI de vitamina D. Cada unidade de suplemento X, Y e Z contém as quantidades indicadas na tabela abaixo das vitaminas C, A e D:
x Y z
Vitamina C 50 mg 100 mg 50 mg
Vitamina A 1000 UI 200 UI 500 UI
Vitamina D 100 UI 200 UI 0 UI
Admitindo essas informações, analise as afirmações abaixo:
0-0) Para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista, você pode utilizar: três unidades do suplemento , uma unidade do suplemento e duas unidades do suplemento Z.
1-1) Para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista você pode utilizar: duas unidades de cada um dos suplementos.
2-2) É impossível atender às recomendações do nutricionista usando os suplementos e Z.
3-3) Para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista você pode utilizar: seis unidades dentre os suplementos X, Y e Z, escolhidas como desejar.
4-4) É possível atender às recomendações do nutricionista de infinitas maneiras diferentes.

Passo 1

O enunciado dá recomendações diárias de vitaminas: 350 mg de vitamina C, 4200 UI de vitamina A e 500 UI de vitamina D, e três suplementos X, Y, Z com teores:
c|ccc & X & Y & Zhline C (mg) & 50 & 100 & 50 A (UI) & 1000 & 200 & 500 D (UI) & 100 & 200 & 0
O conteúdo é resolução de sistema linear (inteiro) para achar quantas unidades de cada suplemento satisfazem exatamente essas quantidades.

Passo 2

Definimos x,y,z>=0 inteiros como o número de unidades de X,Y,Z. Escrevemos as equações:
50x + 100y + 50z = 350,
1000x + 200y + 500z = 4200,
100x + 200y + 0z = 500

Passo 3

Da equação de vitamina D,
100x + 200y = 500
divide-se por 100 para simplificar:
x + 2y = 5
Como x,y são não negativos inteiros, as únicas soluções são
(y,x) = (0,5),,(1,3),,(2,1)

Passo 4

Da equação de vitamina C,
50x + 100y + 50z = 350
divide-se por 50:
x + 2y + z = 7
logo
z = 7 - x - 2y
Substituindo cada par (x,y) de antes, nota-se que em todos os casos dá z=2.

Passo 5

Falta a equação de vitamina A:
1000x + 200y + 500z = 4200
Divide-se por 100:
10x + 2y + 5z = 42
Como z=2, substituímos:
10x + 2y + 10 = 42 Longrightarrow 10x + 2y = 32 Longrightarrow 5x + y = 16
Substituindo as opções de (x,y) de x+2y=5, apenas (x,y)=(3,1) satisfaz 5x+y=16.

Passo 6

Concluímos que a única solução inteira não negativa é
(x,y,z) = (3,,1,,2)

Passo 7

Comparando com as afirmações:
0-0) “três unidades de X, uma de Y e duas de Z” – corresponde à solução e é verdadeira.
1-1) “duas unidades de cada” – não satisfaz o sistema. Falsa.
2-2) “é impossível” – há solução. Falsa.
3-3) “seis unidades escolhidas como desejar” – não vale para qualquer escolha, só para (3,1,2). Falsa.
4-4) “infinitas maneiras” – só há uma. Falsa.

Resposta

Apenas a afirmação 0-0 é correta.

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