FU - Se SN é a soma r1+r2+r3+ldots dos expoentes dos fatores primos de um número natural N=a^r1 times b^r1 times c^r1 times ldots, a partir de 2 , determine os possíveis valores de SN, onde N é um quadrado perfeito quando dividido por 2 e um cubo perfeito quando dividido por 3 .
a) SN=2 k, para k=3,4,5, ldots
b) SN=6 k, para k=1,2,3, ldots
c) SN=6 k+1, para k=1,2,3, ldots
d) SN=6 k-1, para k=1,2,3, ldots
e) SN=8 k-1, para k=1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado define SN como a soma dos expoentes na fatoração prima de N (incluindo o fator 2), e pede os possíveis valores de SN sabendo que:
  1. Dividindo N por 2 obtemos um quadrado perfeito.
  2. Dividindo N por 3 obtemos um cubo perfeito.

Passo 2

Escrevemos a fatoração prima de N como
N = 2^r2 times 3^r3 times 5^r5times 7^r7timescdots
e então impomos as condições:
(i) N/2 é quadrado perfeito. Logo:
  • r2-1 é par, isto é r2equiv1pmod2.
  • Para todo primo pneq2, rpequiv0pmod2.
(ii) N/3 é cubo perfeito. Logo:
  • r3-1 é múltiplo de 3, isto é r3equiv1pmod3.
  • Para todo primo pneq3, rpequiv0pmod3.

Passo 3

Resolvendo as congruências:
Para p=2:
r2equiv1pmod2, r2equiv0pmod3 Longrightarrow r2=6a+3,;a>=0
Para p=3:
r3equiv0pmod2, r3equiv1pmod3 Longrightarrow r3=6b+4,;b>=0
Para todo p>=5:
rpequiv0pmod2, rpequiv0pmod3 Longrightarrow rp=6cp,;cp>=0

Passo 4

Agora SN=sumprp = r2+r3+sump>=5rp. Escrevendo
sump>=5rp=6C,;C>=0,
temos
SN = (6a+3)+(6b+4)+6C = 6(a+b+C)+7 = 6k+7, k>=0
Como 7=6cdot1+1, podemos reescrever 6k+7=6(k+1)+1. Logo
SN=6m+1, m>=1

Resposta

c) SN=6k+1, para k=1,2,3,ldots.

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