FU - Se
é a soma
dos expoentes dos fatores primos de um número natural
, a partir de 2 , determine os possíveis valores de
, onde N é um quadrado perfeito quando dividido por 2 e um cubo perfeito quando dividido por 3 .
a)
, para
b)
, para
c)
, para
d)
, para
e)
, para
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define
como a soma dos expoentes na fatoração prima de
(incluindo o fator 2), e pede os possíveis valores de
sabendo que:
- Dividindo
por 2 obtemos um quadrado perfeito. - Dividindo
por 3 obtemos um cubo perfeito.
Passo 2
Escrevemos a fatoração prima de
como
e então impomos as condições:
(i)
é quadrado perfeito. Logo:
-
é par, isto é . - Para todo primo
, .
(ii)
é cubo perfeito. Logo:
-
é múltiplo de 3, isto é . - Para todo primo
, .
Passo 3
Resolvendo as congruências:
Para
:
Para
:
Para todo
:
Passo 4
Agora
. Escrevendo
temos
Como
, podemos reescrever
. Logo
Resposta
c)
, para
.