A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 17 e a soma dos termos de ordem par é 173. Calcule o primeiro termo da progressão.

Passo 1

O enunciado trata de uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a e razão r (com |r|<1 para a soma existir). Sabemos que a soma dos termos de ordem ímpar
Símpar = a + ar^2 + ar^4 + cdots = 17 í
e a soma dos termos de ordem par
Spar = ar + ar^3 + ar^5 + cdots = tfrac173
Vamos usar a fórmula da soma de uma PG infinita para cada caso e resolver para a e r.

Passo 2

A soma de uma PG infinita de primeiro termo A e razão q (com |q|<1) é
sumk=0^infty A,q^k = A1-q
  • Nos termos ímpares temos uma PG de primeiro termo a e razão r^2, logo Símpar = a1-r^2 = 17 í
  • Nos termos pares temos uma PG de primeiro termo ar e razão r^2, logo Spar = ar1-r^2 = 173

Passo 3

Dividindo Spar por Símparí obtemos
SparSímpar = ar1-r^2a1-r^2 = r = tfrac17317 = 13 í
Portanto r = tfrac13

Passo 4

Substituindo r=tfrac13 em
a1-r^2 = 17
temos
1 - r^2 = 1 - l(tfrac13r)^2 = 1 - tfrac19 = tfrac89,
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a8/9 = 17 Longrightarrow a = 17 times 89 = 1369

Resposta

1369

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