Obtenha a P.G. de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300.

Passo 1

O enunciado pede uma progressão geométrica (PG) de quatro termos cujo primeiro termo é a e a razão é r, de modo que a soma dos dois primeiros termos seja 12 e a soma dos dois últimos seja 300. Vamos usar a forma geral dos termos de uma PG e impor essas condições.

Passo 2

Os quatro termos são
a, ar, ar^2, ar^3
As condições dadas são
a + ar = 12,
ar^2 + ar^3 = 300
Fatorando cada soma, obtemos
a(1 + r) = 12,
ar^2(1 + r) = 300

Passo 3

Para eliminar a e 1+r, dividimos a segunda equação pela primeira:
ar^2(1 + r)a(1 + r) ;=;30012 Longrightarrow r^2 = 25

Passo 4

Extraindo raiz de r^2 = 25, temos
r = 5 ou r = -5
Em cada caso, usamos a = dfrac121+r.

Passo 5

Para r = 5:
a = 121+5 = 126 = 2,
logo a PG é (2,,10,,50,,250).
Para r = -5:
a = 121-5 = 12-4 = -3,
logo a PG é (-3,,15,,-75,,375).

Resposta

As duas progressões geométricas que satisfazem as condições são
(2,10,50,250)
e
(-3,15,-75,375).

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