Suponha N um cubo perfeito gerado por 5 p+1. Sabendo que p é um número primo, qual é a soma dos algarismos de p?

Passo 1

O enunciado diz que
N = 5p + 1
é um cubo perfeito, isto é, existe kinZ tal que
N = k^3
O conteúdo envolve fatoração de diferença de cubos e análise dos divisores, sabendo que p é primo.

Passo 2

Igualando 5p+1 a k^3 e isolando 5p, temos
5p = k^3 - 1 = (k-1)(k^2 + k + 1)
Como p é primo, o produto (k-1)(k^2+k+1) deve se distribuir entre os fatores 5 e p.

Passo 3

As únicas repartições inteiras possíveis de (k-1)(k^2 + k + 1)=5p são:
(i) k-1=5 e k^2+k+1=p;
(ii) k-1=1 e k^2+k+1=5p;
(iii) k-1=p e k^2+k+1=5.
Vamos testar cada caso.

Passo 4

(i) Se k-1=5 então k=6 e
k^2+k+1 = 6^2+6+1 = 43,
logo p=43, que é primo.
(ii) Se k-1=1 então k=2 e
k^2+k+1 = 2^2+2+1 = 7,
o que daria 5p=7 e não gera p inteiro.
(iii) Se k^2+k+1=5 então
k^2+k-4=0,
cuja discrimante é 1+16=17, não quadrado, sem solução inteira.
Assim, a única possibilidade é p=43.

Resposta

A soma dos algarismos de p=43 é 4+3=7.

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