Suponha
um cubo perfeito gerado por
. Sabendo que
é um número primo, qual é a soma dos algarismos de p?
Passo 1
O enunciado diz que
é um cubo perfeito, isto é, existe
tal que
O conteúdo envolve fatoração de diferença de cubos e análise dos divisores, sabendo que
é primo.
Passo 2
Igualando
a
e isolando
, temos
Como
é primo, o produto
deve se distribuir entre os fatores
e
.
Passo 3
As únicas repartições inteiras possíveis de
são:
(i) e
;
(ii) e
;
(iii) e
.
Vamos testar cada caso.
(i)
(ii)
(iii)
Vamos testar cada caso.
Passo 4
(i) Se
então
e
logo
, que é primo.
(ii) Se então
e
(ii) Se
o que daria
e não gera
inteiro.
(iii) Se então
(iii) Se
cuja discrimante é
, não quadrado, sem solução inteira.
Assim, a única possibilidade é .
Assim, a única possibilidade é
Resposta
A soma dos algarismos de
é
.