Sendo
, determine o número de divisores de
, menores que N , não divisores de N .
Passo 1
O enunciado dá
logo
Precisamos contar quantos divisores de
satisfazem simultaneamente:
- São menores que
. - Não são divisores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos contar todos os divisores de
.
Um divisor de tem a forma
com
e
.
O número total de divisores é
Um divisor de
O número total de divisores é
Passo 3
Agora contamos quantos desses divisores são estritamente menores que
.
Pela simetria de divisores de , cada divisor
emparelha-se com
, e um dos dois é menor que
. Só
fica exatamente no meio.
Portanto, o número de divisores de menores que
é
Pela simetria de divisores de
Portanto, o número de divisores de
Passo 4
Dos divisores de
que são menores que
, alguns são divisores de
. Vamos contar quantos divisores
tem:
Um divisor de é
com
e
, totalizando
Um divisor de
divisores. Destes, exatamente um é
e os outros
são menores que
.
Passo 5
Finalmente, o número de divisores de
que são
- menores que
, e - não divisores de
é