Sendo N=2^95 times 3^19, determine o número de divisores de N^2, menores que N , não divisores de N .

Passo 1

O enunciado dá
N = 2^95times 3^19,
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N^2 = 2^190times 3^38
Precisamos contar quantos divisores de N^2 satisfazem simultaneamente:
  1. São menores que N.
  2. Não são divisores de N.

Passo 2

Primeiro, vamos contar todos os divisores de N^2.
Um divisor de N^2 tem a forma 2^a3^b com 0<= a<=190 e 0<= b<=38.
O número total de divisores é
(190+1)times(38+1)=191times39=7449

Passo 3

Agora contamos quantos desses divisores são estritamente menores que N.
Pela simetria de divisores de N^2, cada divisor dneq N emparelha-se com N^2d, e um dos dois é menor que N. Só d=N fica exatamente no meio.
Portanto, o número de divisores de N^2 menores que N é
l(total de divisores de N^2r)-12 =7449-12=3724

Passo 4

Dos divisores de N^2 que são menores que N, alguns são divisores de N. Vamos contar quantos divisores N tem:
Um divisor de N é 2^a3^b com 0<= a<=95 e 0<= b<=19, totalizando
(95+1)times(19+1)=96times20=1920
divisores. Destes, exatamente um é N e os outros 1919 são menores que N.

Passo 5

Finalmente, o número de divisores de N^2 que são
  • menores que N, e
  • não divisores de N
    é
3724;-;1919;=;1805

Resposta

1805

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