Todo racional
Prove que tem descontinuidade simples em todo ponto racional:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função definida em é irracional},\ \frac1n &se
em forma irredutível,
. \end{cases}]
O objetivo é mostrar que
-
é contínua em cada ponto irracional; - em cada ponto racional
a descontinuidade é simples (isto é, existe e é diferente de ).
Passo 2
(Provar continuidade em ponto irracional)
Seja irracional e tome
. Escolha
tal que
Seja
Em todo
só há números racionais com denominador
em quantidade finita; chame-os de
. Como
é irracional, cada
. Defina
Então, se
, temos duas possibilidades:
- Se
é irracional, então e . - Se
é racional, em forma irredutível, então (pois não pode ser um dos ), logo
Isso mostra
, ou seja,
é contínua em
.
Passo 3
(Provar existência do limite em ponto racional)
Seja agora em forma irredutível, e tomemos
. Escolha
tal que
. Considere o conjunto finito de racionais cujo denominador é
; entre eles está
, mas fora dele há apenas finitos pontos distintos de
. Seja
o mínimo das distâncias entre
e esses outros racionais de denominador
. Então, para
, qualquer
satisfaz:
Seja agora
- Se
irracional, . - Se
racional em forma irredutível, necessariamente , de modo que .
Em ambos os casos. Portanto
Passo 4
(Conclusão sobre a descontinuidade simples)
Em vale
, mas
. Logo há descontinuidade simples em cada ponto racional.
Em