Todo racional
Prove que tem descontinuidade simples em todo ponto racional:

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função definida em é irracional},\ \frac1n &se R em forma irredutível, f(x)= 0 &se (x) é irracional, 1n &se (x=tfrac mn) em forma irredutível, (n>0) . \end{cases}]
O objetivo é mostrar que
  1. f é contínua em cada ponto irracional;
  2. em cada ponto racional a=tfrac mn a descontinuidade é simples (isto é, limxto af(x) existe e é diferente de f(a)).

Passo 2

(Provar continuidade em ponto irracional)
Seja x0 irracional e tome varepsilon>0. Escolha NinN tal que
1N<varepsilon
Em todo R só há números racionais com denominador <= N em quantidade finita; chame-os de r1,dots,rk. Como x0 é irracional, cada lvert x0-rirvert>0. Defina
de<a=min1<= i<= klvert x0-rirvert>0
Então, se lvert x-x0rvert<de<a, temos duas possibilidades:
  • Se x é irracional, então f(x)=0=f(x0) e lvert f(x)-f(x0)rvert=0<varepsilon.
  • Se x é racional, x=tfrac mn em forma irredutível, então n>N (pois não pode ser um dos ri), logo lvert f(x)-f(x0)rvert=1n<1N<varepsilon
Isso mostra limxto x0f(x)=f(x0), ou seja, f é contínua em x0.

Passo 3

(Provar existência do limite em ponto racional)
Seja agora a=tfrac mn em forma irredutível, e tomemos varepsilon>0. Escolha N tal que tfrac1N<varepsilon. Considere o conjunto finito de racionais cujo denominador é <= N; entre eles está a, mas fora dele há apenas finitos pontos distintos de a. Seja de<a o mínimo das distâncias entre a e esses outros racionais de denominador <= N. Então, para 0<lvert x-arvert<de<a, qualquer xneq a satisfaz:
  • Se x irracional, f(x)=0.
  • Se x racional tfrac pq em forma irredutível, necessariamente q>N, de modo que f(x)=1/q<1/N<varepsilon.
    Em ambos os casos lvert f(x)-0rvert<varepsilon. Portanto
limxto af(x)=0

Passo 4

(Conclusão sobre a descontinuidade simples)
Em a=tfrac mn vale f(a)=1/n, mas limxto af(x)=0neq1/n. Logo há descontinuidade simples em cada ponto racional.

Resposta

f é contínua em todo ponto irracional, e em cada ponto racional a=tfrac mn a descontinuidade é simples, pois
limxto af(x)=0neq f(a)=1n

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