3.2.21 Os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} são relacionados pelo tensor T ,
\mathbf{B}=\mathrm{TA} .
Dados \mathbf{A} e B, mostre que não há nenhuma solução única para as componentes de T. É por isso que a divisão vetorial \mathbf{B} / \mathbf{A} é indefinida (à parte o caso especial de \mathbf{A} e \mathbf{B} paralelos, e T , então um escalar).

Passo 1

O enunciado trata de vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} em \mathbb{R}^3 ligados por um tensor de segunda ordem T tal que
\mathbf{B} = T\,\mathbf{A}.
O objetivo é mostrar que, dados \mathbf{A} e \mathbf{B}, as componentes de T não são determinadas de forma única, isto é, há infinitas soluções para T.

Passo 2

Escrevendo em componentes, se chamarmos \mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3), \mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3) e T=(T_{ij}), temos o sistema linear
B_i = \sum_{j=1}^{3} T_{ij}\,A_j, \quad i=1,2,3.
Isso são 3 equações escalares envolvendo as 9 incógnitas T_{11},T_{12},\dots,T_{33}.

Passo 3

Como temos 3 equações para 9 incógnitas, o sistema está subdeterminad o. Em geral, um sistema linear com menos equações do que incógnitas admite um espaço de soluções de dimensão igual a
\text{(número de incógnitas)} - \text{(posto do sistema)}.úó
Aqui o posto é, no máximo, 3, então há pelo menos 9-3=6 graus de liberdade livres em T.

Passo 4

Para ver explicitamente a infinidade de soluções, basta encontrar uma solução particular T^{(p)} e somar a ela qualquer tensor S que satisfaça a homogênea
S\,\mathbf{A} = \mathbf{0}.
Uma escolha comum de solução particular é
T^{(p)} = \frac{\mathbf{B}\,\mathbf{A}^T}{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}},
pois nesse caso
T^{(p)}\mathbf{A} = \frac{\mathbf{B}\,(\mathbf{A}^T\mathbf{A})}{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}} = \mathbf{B}.

Passo 5

A solução geral então é
T = T^{(p)} + S = \frac{\mathbf{B}\,\mathbf{A}^T}{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}} + S,
onde S é qualquer tensor que obedeça
S\,\mathbf{A} = \mathbf{0}.
Como há infinitos S\neq 0 com essa propriedade (seis graus de liberdade), também há infinitas matrizes T que satisfazem \mathbf{B}=T\,\mathbf{A}.

Passo 6

Isso mostra que não existe uma “divisão” de vetores \mathbf{B}/\mathbf{A} que gere um único tensor T. A única situação em que faz sentido falar em “divisão” vetorial como escalar é quando \mathbf{B} e \mathbf{A} são paralelos, ou seja, \mathbf{B}=\lambda\,\mathbf{A}. Nesse caso podemos escolher T=\lambda\,I, mas ainda assim, livremente, somar qualquer S com S\,\mathbf{A}=\mathbf{0} sem violar \mathbf{B}=T\,\mathbf{A}.

Resposta

Não há solução única para T; de forma geral
T = \frac{\mathbf{B}\,\mathbf{A}^T}{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}} + S, \quad S\,\mathbf{A}=\mathbf{0},
logo a “divisão” vetorial \mathbf{B}/\mathbf{A} é indefinida, exceto no caso especial \mathbf{B}=\lambda\,\mathbf{A}.

Exercícios de Livros Relacionados