3.2.21 Os vetores A e B são relacionados pelo tensor T ,
B=TA
Dados A e B, mostre que não há nenhuma solução única para as componentes de T. É por isso que a divisão vetorial B / A é indefinida (à parte o caso especial de A e B paralelos, e T , então um escalar).

Passo 1

O enunciado trata de vetores A e B em R^3 ligados por um tensor de segunda ordem T tal que
B = T,A
O objetivo é mostrar que, dados A e B, as componentes de T não são determinadas de forma única, isto é, há infinitas soluções para T.

Passo 2

Escrevendo em componentes, se chamarmos A=(A1,A2,A3), B=(B1,B2,B3) e T=(Tij), temos o sistema linear
Bi = sumj=1^3 Tij,Aj, i=1,2,3
Isso são 3 equações escalares envolvendo as 9 incógnitas T11,T12,dots,T33.

Passo 3

Como temos 3 equações para 9 incógnitas, o sistema está subdeterminad o. Em geral, um sistema linear com menos equações do que incógnitas admite um espaço de soluções de dimensão igual a
(número de incógnitas) - (posto do sistema) úó
Aqui o posto é, no máximo, 3, então há pelo menos 9-3=6 graus de liberdade livres em T.

Passo 4

Para ver explicitamente a infinidade de soluções, basta encontrar uma solução particular T^(p) e somar a ela qualquer tensor S que satisfaça a homogênea
S,A = 0
Uma escolha comum de solução particular é
T^(p) = B,A^TAcdotA,
pois nesse caso
T^(p)A = B,(A^TA)AcdotA = B

Passo 5

A solução geral então é
T = T^(p) + S = B,A^TAcdotA + S,
onde S é qualquer tensor que obedeça
S,A = 0
Como há infinitos Sneq 0 com essa propriedade (seis graus de liberdade), também há infinitas matrizes T que satisfazem B=T,A.

Passo 6

Isso mostra que não existe uma “divisão” de vetores B/A que gere um único tensor T. A única situação em que faz sentido falar em “divisão” vetorial como escalar é quando B e A são paralelos, ou seja, B=lambda,A. Nesse caso podemos escolher T=lambda,I, mas ainda assim, livremente, somar qualquer S com S,A=0 sem violar B=T,A.

Resposta

Não há solução única para T; de forma geral
T = B,A^TAcdotA + S, S,A=0,
logo a “divisão” vetorial B/A é indefinida, exceto no caso especial B=lambda,A.

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