3.2.21 Os vetores
e
são relacionados pelo tensor T ,
Dados
e B, mostre que não há nenhuma solução única para as componentes de T. É por isso que a divisão vetorial
é indefinida (à parte o caso especial de
e
paralelos, e T , então um escalar).
Passo 1
O enunciado trata de vetores
e
em
ligados por um tensor de segunda ordem
tal que
O objetivo é mostrar que, dados
e
, as componentes de
não são determinadas de forma única, isto é, há infinitas soluções para
.
Passo 2
Escrevendo em componentes, se chamarmos
,
e
, temos o sistema linear
Isso são 3 equações escalares envolvendo as 9 incógnitas
.
Passo 3
Como temos 3 equações para 9 incógnitas, o sistema está subdeterminad o. Em geral, um sistema linear com menos equações do que incógnitas admite um espaço de soluções de dimensão igual a
Aqui o posto é, no máximo, 3, então há pelo menos
graus de liberdade livres em
.
Passo 4
Para ver explicitamente a infinidade de soluções, basta encontrar uma solução particular
e somar a ela qualquer tensor
que satisfaça a homogênea
Uma escolha comum de solução particular é
pois nesse caso
Passo 5
A solução geral então é
onde
é qualquer tensor que obedeça
Como há infinitos
com essa propriedade (seis graus de liberdade), também há infinitas matrizes
que satisfazem
.
Passo 6
Isso mostra que não existe uma “divisão” de vetores
que gere um único tensor
. A única situação em que faz sentido falar em “divisão” vetorial como escalar é quando
e
são paralelos, ou seja,
. Nesse caso podemos escolher
, mas ainda assim, livremente, somar qualquer
com
sem violar
.
Resposta
Não há solução única para
; de forma geral
logo a “divisão” vetorial
é indefinida, exceto no caso especial
.