1.5.15 Dados

\mathbf{a}^{\prime}=\frac{\mathbf{b} \times \mathbf{c}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}}, \quad \mathbf{b}^{\prime}=\frac{\mathbf{c} \times \mathbf{a}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}}, \quad \mathbf{c}^{\prime}=\frac{\mathbf{a} \times \mathbf{b}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}},
e \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c} \neq 0, mostre que
(a) \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}^{\prime}=\delta_{x y},(\mathbf{x}, \mathbf{y}=\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}),
(b) \mathbf{a}^{\prime} \cdot \mathbf{b}^{\prime} \times \mathbf{c}^{\prime}=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c})^{-1},
(c) \mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}^{\prime} \times \mathbf{c}^{\prime}}{\mathbf{a}^{\prime} \cdot \mathbf{b}^{\prime} \times \mathbf{c}^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado define três vetores não coplanares \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} com produto misto \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\neq0 e seu “sistema recíproco”
\mathbf{a}'=\frac{\mathbf{b}\times\mathbf{c}}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})},\quad \mathbf{b}'=\frac{\mathbf{c}\times\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})},\quad \mathbf{c}'=\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}.
O conteúdo envolve produtos vetoriais, produto escalar misto e identidade do triplo produto vetorial. Vamos mostrar (a) ortogonalidade recíproca, (b) inversão do produto misto e (c) a recuperação de \mathbf{a} a partir do sistema recíproco.

Passo 2

Prova de (a): para quaisquer \mathbf{x},\mathbf{y}\in\{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\} calculamos
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}' =\frac{\mathbf{x}\cdot(\text{algum }\mathbf{u}\times\mathbf{v})} {\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}.
Se \mathbf{y}' vier de \mathbf{u}\times\mathbf{v} com \{\mathbf{u},\mathbf{v}\}=\{\mathbf{b},\mathbf{c}\} e \mathbf{x}=\mathbf{a}, então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}' =\frac{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})} {\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}=1.
Se \mathbf{x}=\mathbf{b} ou \mathbf{c}, então o escalar misto tem dois vetores iguais e vale zero, por exemplo
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}' =\frac{\mathbf{b}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})} {\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}=0.
Análogo para os outros pares prova que
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}'=\delta_{xy}.

Passo 3

Prova de (b): denote D=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Então
\mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}') =\frac{1}{D^3}\, (\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\bigl((\mathbf{c}\times\mathbf{a})\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr).
Pela identidade do triplo produto vetorial,
(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\mathbf{a}\bigl(\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr) -\mathbf{c}\bigl(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr) =\mathbf{a}\,D.
Logo
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\bigl((\mathbf{c}\times\mathbf{a})\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\bigr) =(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot(D\,\mathbf{a}) =D^2.
Isso dá
\mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}')=\frac{D^2}{D^3}=\frac1D =(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}))^{-1}.

Passo 4

Prova de (c): ainda com D=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}),
\mathbf{b}'\times\mathbf{c}' =\frac{1}{D^2}\,(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\times(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\frac{1}{D^2}\,(D\,\mathbf{a}) =\frac{\mathbf{a}}{D}.
Dividindo por \mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}')=1/D obtemos
\frac{\mathbf{b}'\times\mathbf{c}'}{\mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}')} =\frac{\mathbf{a}/D}{1/D}=\mathbf{a}.

Resposta

(a) \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}'=\delta_{xy}.
(b) \mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}')=(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}))^{-1}.
(c) \displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}'\times\mathbf{c}'}{\mathbf{a}'\cdot(\mathbf{b}'\times\mathbf{c}')}.

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