1.5.15 Dados

a^prime=b times ca cdot b times c, b^prime=c times aa cdot b times c, c^prime=a times ba cdot b times c,
e a cdot b times c neq 0, mostre que
(a) x cdot y^prime=de<ax y,(x, y=a, b, c),
(b) a^prime cdot b^prime times c^prime=(a cdot b times c)^-1,
(c) a=b^prime times c^primea^prime cdot b^prime times c^prime.

Passo 1

O enunciado define três vetores não coplanares a,b,c com produto misto acdot(btimesc)neq0 e seu “sistema recíproco”
a'=btimescacdot(btimesc), b'=ctimesaacdot(btimesc), c'=atimesbacdot(btimesc)
O conteúdo envolve produtos vetoriais, produto escalar misto e identidade do triplo produto vetorial. Vamos mostrar (a) ortogonalidade recíproca, (b) inversão do produto misto e (c) a recuperação de a a partir do sistema recíproco.

Passo 2

Prova de (a): para quaisquer x,yina,b,c calculamos
xcdoty' =xcdot(algum utimesv) acdot(btimesc)
Se y' vier de utimesv com u,v=b,c e x=a, então
acdota' =acdot(btimesc) acdot(btimesc)=1
Se x=b ou c, então o escalar misto tem dois vetores iguais e vale zero, por exemplo
bcdota' =bcdot(btimesc) acdot(btimesc)=0
Análogo para os outros pares prova que
xcdoty'=de<axy

Passo 3

Prova de (b): denote D=acdot(btimesc). Então
a'cdot(b'timesc') =1D^3, (btimesc)cdotl((ctimesa)times(atimesb)r)
Pela identidade do triplo produto vetorial,
(ctimesa)times(atimesb) =al(ccdot(atimesb)r) -cl(acdot(atimesb)r) =a,D
Logo
(btimesc)cdotl((ctimesa)times(atimesb)r) =(btimesc)cdot(D,a) =D^2
Isso dá
a'cdot(b'timesc')=D^2D^3=1D =(acdot(btimesc))^-1

Passo 4

Prova de (c): ainda com D=acdot(btimesc),
b'timesc' =1D^2,(ctimesa)times(atimesb) =1D^2,(D,a) =aD
Dividindo por a'cdot(b'timesc')=1/D obtemos
b'timesc'a'cdot(b'timesc') =a/D1/D=a

Resposta

(a) xcdoty'=de<axy.
(b) a'cdot(b'timesc')=(acdot(btimesc))^-1.
(c) a=b'timesc'a'cdot(b'timesc').

Exercícios de Livros Relacionados