1.5.15 Dados
e
, mostre que
(a)
,
(b)
,
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define três vetores não coplanares
com produto misto
e seu “sistema recíproco”
O conteúdo envolve produtos vetoriais, produto escalar misto e identidade do triplo produto vetorial. Vamos mostrar (a) ortogonalidade recíproca, (b) inversão do produto misto e (c) a recuperação de
a partir do sistema recíproco.
Passo 2
Prova de (a): para quaisquer
calculamos
Se
vier de
com
e
, então
Se
ou
, então o escalar misto tem dois vetores iguais e vale zero, por exemplo
Análogo para os outros pares prova que
Passo 3
Prova de (b): denote
. Então
Pela identidade do triplo produto vetorial,
Logo
Isso dá
Passo 4
Prova de (c): ainda com
,
Dividindo por
obtemos
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)