Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{z e^{+i z}}{z^{2}-a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{z\,e^{i z}}{z^{2}-a^{2}}
determinar onde estão as singularidades, classificar cada uma (polo simples, essencial, etc.) e calcular o resíduo em cada ponto singular. Vamos usar o fato de que e^{i z} é inteira e que polos simples vêm de zeros simples do denominador.

Passo 2

O denominador se anula em z^{2}-a^{2}=(z-a)(z+a). Logo as singularidades são
z=a \quad\text{e}\quad z=-a.
Como esses zeros são simples, cada ponto é um polo simples de f.

Passo 3

Para um polo simples em z=a, o resíduo é dado por
\Res(f,a) =\lim_{z\to a}(z-a)\frac{z\,e^{i z}}{(z-a)(z+a)} =\lim_{z\to a}\frac{z\,e^{i z}}{z+a} =\frac{a\,e^{i a}}{a+a} =\frac{e^{i a}}{2}.

Passo 4

Para o polo simples em z=-a, analogamente,
\Res(f,-a) =\lim_{z\to -a}(z+ a)\frac{z\,e^{i z}}{(z-a)(z+a)} =\lim_{z\to -a}\frac{z\,e^{i z}}{z - a} =\frac{-a\,e^{-i a}}{-a - a} =\frac{e^{-i a}}{2}.

Resposta

As únicas singularidades são polos simples em z=a e z=-a, com resíduos
\Res(f,a)=\frac{e^{i a}}{2}, \quad \Res(f,-a)=\frac{e^{-i a}}{2}.

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