9.5.13 Para o caso especial de não haver nenhuma dependência azimutal, a análise de Mecânica Quântica do íon molecular do hidrogênio leva à equação
Desenvolva uma solução de série de potências para
. Avalie os três primeiros coeficientes que não desaparecem em termos de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede uma solução em série de potências em torno de
.
O ponto é regular singular, e a partir da substituição de
O ponto
obtém-se a equação indicial
. As raízes são
e
; escolhemos
para a solução ímpar.
Passo 2
Com
assumimos
Calculando
e substituindo na ODE, agrupa-se em potências de
e obtém-se a relação de recorrência
com
. Além disso o coeficiente de
dá
, o que garante que só as potências ímpares apareçam.
Passo 3
Usando a recorrência para os termos não-nulos (índices pares em
):
- Para
:
- Para
:
Os demais
são zero por paridade.
Resposta
A solução ímpar
fica