9.5.13 Para o caso especial de não haver nenhuma dependência azimutal, a análise de Mecânica Quântica do íon molecular do hidrogênio leva à equação
\frac{d}{d \eta}\left[\left(1-\eta^{2}\right) \frac{d u}{d \eta}\right]+\alpha u+\beta \eta^{2} u=0
Desenvolva uma solução de série de potências para u(\eta). Avalie os três primeiros coeficientes que não desaparecem em termos de a_{0}.
\begin{gathered} \text { Equação indicial } \quad k(k-1)=0, \\\ u_{k=1}=a_{0} \eta\left\{1+\frac{2-\alpha}{6} \eta^{2}+\left[\frac{(2-\alpha)(12-\alpha)}{120}-\frac{\beta}{20}\right] \eta^{4}+\cdots\right\} . \end{gathered}çã

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{d}{d \eta}\Bigl[(1-\eta^{2})\,\frac{du}{d\eta}\Bigr]+\alpha\,u+\beta\,\eta^{2}u=0
e pede uma solução em série de potências em torno de \eta=0.
O ponto \eta=0 é regular singular, e a partir da substituição de
u(\eta)=\sum_{s=0}^{\infty}c_{s}\,\eta^{s+k}
obtém-se a equação indicial k(k-1)=0. As raízes são k=0 e k=1; escolhemos k=1 para a solução ímpar.

Passo 2

Com k=1 assumimos
u(\eta)=\sum_{s=0}^{\infty}c_{s}\,\eta^{s+1} \,,\qquad c_{0}=a_{0}\text{ livre.}
Calculando u' e substituindo na ODE, agrupa-se em potências de \eta^m e obtém-se a relação de recorrência
(m+1)(m+2)\,c_{m+1} =\bigl[m(m+1)-\alpha\bigr]\,c_{m-1} \;-\;\beta\;c_{m-3} \,,\quad m\ge1
com c_{-1}=c_{-2}=c_{-3}=0. Além disso o coeficiente de \eta^0 c_{1}=0, o que garante que só as potências ímpares apareçam.

Passo 3

Usando a recorrência para os termos não-nulos (índices pares em c_s):
  • Para m=1:
c_{2} =\frac{1\cdot2-\alpha}{2\cdot3}\;c_{0} -\frac{\beta}{2\cdot3}\;c_{-2} =\frac{2-\alpha}{6}\;a_{0} \,.
  • Para m=3:
c_{4} =\frac{3\cdot4-\alpha}{4\cdot5}\;c_{2} -\frac{\beta}{4\cdot5}\;c_{0} =\frac{12-\alpha}{20}\,\frac{2-\alpha}{6}\,a_{0} \;-\;\frac{\beta}{20}\,a_{0} =\Bigl[\frac{(2-\alpha)(12-\alpha)}{120}-\frac{\beta}{20}\Bigr]\,a_{0} \,.
Os demais c_{1},c_{3},\dots são zero por paridade.

Resposta

A solução ímpar (k=1) fica
u(\eta) =a_{0}\,\eta \Biggl\lbrace 1 +\frac{2-\alpha}{6}\,\eta^{2} +\Bigl[\frac{(2-\alpha)(12-\alpha)}{120}-\frac{\beta}{20}\Bigr]\eta^{4} +\cdots \Biggr\rbrace.

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