9.5.13 Para o caso especial de não haver nenhuma dependência azimutal, a análise de Mecânica Quântica do íon molecular do hidrogênio leva à equação
dd eta[(1-eta^2) d ud eta]+alpha u+beta eta^2 u=0
Desenvolva uma solução de série de potências para u(eta). Avalie os três primeiros coeficientes que não desaparecem em termos de a0.
Equação indicial k(k-1)=0, uk=1=a0 eta1+2-alpha6 eta^2+[(2-alpha)(12-alpha)120-beta20] eta^4+cdots çã

Passo 1

O enunciado dá a equação
dd etal[(1-eta^2),dudetar]+alpha,u+beta,eta^2u=0
e pede uma solução em série de potências em torno de eta=0.
O ponto eta=0 é regular singular, e a partir da substituição de
u(eta)=sums=0^inftycs,eta^s+k
obtém-se a equação indicial k(k-1)=0. As raízes são k=0 e k=1; escolhemos k=1 para a solução ímpar.

Passo 2

Com k=1 assumimos
u(eta)=sums=0^inftycs,eta^s+1 ,, c0=a0 livre
Calculando u' e substituindo na ODE, agrupa-se em potências de eta^m e obtém-se a relação de recorrência
(m+1)(m+2),cm+1 =l[m(m+1)-alphar],cm-1 ;-;beta;cm-3 ,, m>=1
com c-1=c-2=c-3=0. Além disso o coeficiente de eta^0 c1=0, o que garante que só as potências ímpares apareçam.

Passo 3

Usando a recorrência para os termos não-nulos (índices pares em cs):
  • Para m=1:
c2 =1cdot2-alpha2cdot3;c0 -beta2cdot3;c-2 =2-alpha6;a0 ,
  • Para m=3:
c4 =3cdot4-alpha4cdot5;c2 -beta4cdot5;c0 =12-alpha20,2-alpha6,a0 ;-;beta20,a0 =l[(2-alpha)(12-alpha)120-beta20r],a0 ,
Os demais c1,c3,dots são zero por paridade.

Resposta

A solução ímpar (k=1) fica
u(eta) =a0,eta gllbrace 1 +2-alpha6,eta^2 +l[(2-alpha)(12-alpha)120-beta20r]eta^4 +cdots grrbrace

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