(Suécia-86) ABCD é um quadrilátero de área S. As diagonais encontram-se em X. Sabendo-se que área de
e área de
, mostre que
, com igualdade se e somente se AB é paralelo a CD .
Passo 1
Vamos chamar de
a diagonal que corta o quadrilátero em dois triângulos
e
. Seja
a distância de
à reta
e
a distância de
à reta
. Denotemos por
O que vamos precisar é da fórmula da área de um triângulo em função de uma base e da sua altura, e depois manipular raízes quadradas.
Passo 2
Expressamos cada área usando a base
ou parte dela:
já que ao juntar
e
cobrimos todo o quadrilátero.
Além disso, como divide
em dois segmentos
e
, temos
Além disso, como
Passo 3
Agora escrevemos as raízes das áreas:
Dividindo tudo por
, a desigualdade
torna-se
Passo 4
Como
, temos
onde a última desigualdade é a conhecida
para
(basta elevar ao quadrado).
Passo 5
Portanto
Para a igualdade simult^anea em
precisamos que
, isto `e
(o que obriga
ou
, s’o poss’ivel se as retas
e
forem paralelas),
e
, o que s’o ocorre se um dos dois
's for zero —\ de novo levando ao caso degenerado de paralelismo de
e
.
precisamos que
e