(Suécia-86) ABCD é um quadrilátero de área S. As diagonais encontram-se em X. Sabendo-se que área de \triangle A B C=S_{1} e área de C D X=S_{2}, mostre que \sqrt{\mathrm{S}_{1}}+\sqrt{\mathrm{S}_{2}} \leq \sqrt{\mathrm{S}}, com igualdade se e somente se AB é paralelo a CD .

Passo 1

Vamos chamar de AC a diagonal que corta o quadrilátero em dois triângulos ABC e ADC. Seja h_{B} a distância de B à reta AC e h_{D} a distância de D à reta AC. Denotemos por
S_{1} \;=\;\text{área de }\triangle ABC,\quad S_{2} \;=\;\text{área de }\triangle CDX,\quad S \;=\;\text{área de }ABCD.ááá
O que vamos precisar é da fórmula da área de um triângulo em função de uma base e da sua altura, e depois manipular raízes quadradas.

Passo 2

Expressamos cada área usando a base AC ou parte dela:
S_{1} \;=\;\frac{1}{2}\,AC\;h_{B}, \qquad \text{e} \qquad S \;=\;\frac{1}{2}\,AC\,(h_{B}+h_{D}),
já que ao juntar \triangle ABC e \triangle ADC cobrimos todo o quadrilátero.
Além disso, como X divide AC em dois segmentos AX e CX, temos
S_{2} \;=\;\frac{1}{2}\,(CX)\;h_{D}.

Passo 3

Agora escrevemos as raízes das áreas:
\sqrt{S_{1}} =\sqrt{\tfrac12\,AC\,h_{B}} =\sqrt{\tfrac{AC}{2}}\;\sqrt{\,h_{B}\,}, \quad \sqrt{S_{2}} =\sqrt{\tfrac12\,(CX)\,h_{D}} =\sqrt{\tfrac{AC}{2}}\;\sqrt{\frac{CX}{AC}}\;\sqrt{\,h_{D}\,},
\sqrt{S} =\sqrt{\tfrac12\,AC\,(h_{B}+h_{D})} =\sqrt{\tfrac{AC}{2}}\;\sqrt{\,h_{B}+h_{D}\,}.
Dividindo tudo por \sqrt{AC/2}>0, a desigualdade
\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\;\le\;\sqrt{S}
torna-se
\sqrt{h_{B}} \;+\;\sqrt{\frac{CX}{AC}}\;\sqrt{h_{D}} \;\le\; \sqrt{\,h_{B}+h_{D}\,}.

Passo 4

Como 0< CX/AC\le1, temos
\sqrt{h_{B}} \;+\;\sqrt{\frac{CX}{AC}}\,\sqrt{h_{D}} \;\le\; \sqrt{h_{B}}+\sqrt{h_{D}} \;\le\; \sqrt{\,h_{B}+h_{D}\,},
onde a última desigualdade é a conhecida \sqrt{u}+\sqrt{v}\le\sqrt{u+v} para u,v\ge0 (basta elevar ao quadrado).

Passo 5

Portanto
\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \;\le\; \sqrt{S}.
Para a igualdade simult^anea em
\sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} = \sqrt{S}
precisamos que
1) \displaystyle\frac{CX}{AC} = 1, isto `e CX = AC (o que obriga X = C ou A, s’o poss’ivel se as retas AB e CD forem paralelas),
e
2) \sqrt{h_{B}} + \sqrt{h_{D}} = \sqrt{h_{B} + h_{D}}, o que s’o ocorre se um dos dois h's for zero —\ de novo levando ao caso degenerado de paralelismo de AB e CD.

Resposta

\displaystyle \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\le\sqrt{S}, com igualdade se, e somente se, AB\parallel CD.

Exercícios de Livros Relacionados