Um quadrilátero ABCD está circunscrito sobre uma circunferência \gamma e \gamma \cap \mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}, \mathrm{DA}=\mathrm{E}, F, G, H, respectivamente. Seja AC \cap \mathrm{BD}=\mathrm{I} e AH =\mathrm{AE}=\mathrm{a}, \mathrm{BE}=\mathrm{BF}=\mathrm{b}, \mathrm{CF}=\mathrm{CG}=\mathrm{c} e \mathrm{DG}=\mathrm{DH} =d. Prove que \frac{I A}{I C}=\frac{a}{c} e \frac{I B}{I D}=\frac{b}{d}.

Passo 1

O quadrilátero ABCD é tangencial à circunferência \gamma, com pontos de contato
E=AB\cap\gamma,\quad F=BC\cap\gamma,\quad G=CD\cap\gamma,\quad H=DA\cap\gamma
e diagonais AC e BD que se cruzam em I. Sabe–se que
AE=AH=a,\quad BE=BF=b,\quad CF=CG=c,\quad DG=DH=d.
Queremos provar
\frac{IA}{IC}=\frac{a}{c} \quad\text{e}\quad \frac{IB}{ID}=\frac{b}{d}.
O conteúdo é aplicação do Teorema dos Senos no triângulo formado pelas diagonais, junto com o Teorema da Tangente–Corda para calcular certos ângulos em função dos segmentos tangentes.

Passo 2

Vamos usar o Teorema dos Senos em \triangle ABC aplicado ao ponto I\in AC. Escrevemos
\frac{IA}{IC} =\frac{AB}{BC}\,\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle BAC}
mas é mais direto escolher as duas faces que compartilham o lado BI. Em \triangle ABI e \triangle CBI obtemos:
\frac{IA}{IC} =\frac{AB}{BC}\;\frac{\sin\angle ABI}{\sin\angle IBC}.
Como \angle ABI é o ângulo entre AB e BI\subset BD e \angle IBC é o ângulo entre BI e BC, esta expressão é exata para dividir AC em função do traço de BD.

Passo 3

Precisamos agora relacionar
\sin\angle ABI e \sin\angle IBC aos comprimentos a e c. Note que:
  1. Em E, a reta AB é tangente a \gamma; em F, a reta BC também é tangente.
  2. Pelo Teorema da Tangente–Corda, o ângulo entre a tangente em E e a corda EI vale o ângulo inscrito oposto à corda, e análogo em F.
  3. Como AE=AH=a, o triângulo isósceles AEH faz com que os ângulos base em E e H sejam iguais. De modo semelhante, CF=CG=c torna FCG isósceles, igualando ângulos em F e G.
Em detalhe:
  • \angle ABI é congruente ao ângulo que a corda EI faz com a tangente em E, e esse, por Tangente–Corda, é o mesmo que o ângulo inscrito sobre a corda simétrica em H. Mas, pela isoscelia AE=AH, esse ângulo satisfaz \sin\angle ABI \;=\;\frac{AE}{AB}\;=\;\frac{a}{AB}.
  • De modo análogo, \sin\angle IBC \;=\;\frac{CF}{BC}\;=\;\frac{c}{BC}.

Passo 4

Substituindo no passo 2:
\frac{IA}{IC} =\frac{AB}{BC}\;\frac{\sin\angle ABI}{\sin\angle IBC} =\frac{AB}{BC}\;\frac{a/AB}{c/BC} =\frac{a}{c}.
Exatamente o que queríamos. A prova de \frac{IB}{ID}=\frac{b}{d} é rigorosamente análoga, usando os pontos de tangência E,F junto com B e D.

Resposta

\frac{IA}{IC}=\frac{a}{c} \quad\text{e}\quad \frac{IB}{ID}=\frac{b}{d}.

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