Um quadrilátero ABCD está circunscrito sobre uma circunferência
e
, F, G, H, respectivamente. Seja AC
e AH
e
. Prove que
e
.
Passo 1
O quadrilátero
é tangencial à circunferência
, com pontos de contato
e diagonais
e
que se cruzam em
. Sabe–se que
Queremos provar
O conteúdo é aplicação do Teorema dos Senos no triângulo formado pelas diagonais, junto com o Teorema da Tangente–Corda para calcular certos ângulos em função dos segmentos tangentes.
Passo 2
Vamos usar o Teorema dos Senos em
aplicado ao ponto
. Escrevemos
mas é mais direto escolher as duas faces que compartilham o lado
. Em
e
obtemos:
Como
é o ângulo entre
e
e
é o ângulo entre
e
, esta expressão é exata para dividir
em função do traço de
.
Passo 3
Precisamos agora relacionar
e
aos comprimentos
e
. Note que:
- Em
, a reta é tangente a ; em , a reta também é tangente. - Pelo Teorema da Tangente–Corda, o ângulo entre a tangente em
e a corda vale o ângulo inscrito oposto à corda, e análogo em . - Como
, o triângulo isósceles faz com que os ângulos base em e sejam iguais. De modo semelhante, torna isósceles, igualando ângulos em e .
Em detalhe:
-
é congruente ao ângulo que a corda faz com a tangente em , e esse, por Tangente–Corda, é o mesmo que o ângulo inscrito sobre a corda simétrica em . Mas, pela isoscelia , esse ângulo satisfaz - De modo análogo,
Passo 4
Substituindo no passo 2:
Exatamente o que queríamos. A prova de
é rigorosamente análoga, usando os pontos de tangência
junto com
e
.