Suponha que, no começo do primeiro dia de um ano novo, você tenha 3324 mensagens de correio eletrônico salvas em seu computador. No final de cada dia, você salva apenas 12 de suas mensagens novas mais importantes juntamente com as mensagens previamente salvas. Considere a sequência cujo n-ésimo termo seja o número de mensagens de correio eletrônico que tem salvas em seu computador no começo do n-ésimo dia do ano.
17 Qual é o 100^{\circ} termo dessa sequência? Em outras palavras, quantas mensagens de correio eletrônico você terá salvas em seu computador no começo do 100^{\circ} dia do ano?

Passo 1

Resumindo o enunciado: no começo do primeiro dia você tem 3324 mensagens salvas. No final de cada dia você guarda somente 12 das mensagens novas, somando-as ao que já estava salvo. Definimos a sequência \{a_n\} em que a_n é o número de mensagens salvas no começo do n-ésimo dia.

Passo 2

Como a cada dia o total cresce em exatamente 12 mensagens, a sequência obedece à recorrência
a_1 = 3324, \qquad a_n = a_{n-1} + 12 \quad\text{para }n\ge2.

Passo 3

Essa é uma progressão aritmética de primeiro termo a_1 e razão r=12. A fórmula geral do termo n é
a_n = a_1 + (n-1)\,r.

Passo 4

Para n=100 temos
a_{100} = 3324 + (100-1)\times 12 = 3324 + 99\times 12 = 3324 + 1188 = 4512.

Resposta

Você terá 4512 mensagens salvas no começo do 100^{\circ} dia do ano.

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