Um número é uma potência de 2. Dividindo-o por 16, o número de divisores fica sendo 5. Determine esse número.

Passo 1

O enunciado diz que um número é uma potência de 2 e que, ao dividirmos esse número por 16, o quociente tem exatamente 5 divisores. O conteúdo necessário é fatoração em potência de primo e a fórmula do número de divisores: se N = p1^a1p2^a2cdots pk^ak, então o número de divisores de N é (a1+1)(a2+1)cdots(ak+1).

Passo 2

Seja o número procurado 2^n. Ao dividirmos por 16, obtemos
2^n16 = 2^n div 2^4 = 2^,n-4
Chamemos k = 2^,n-4.

Passo 3

Como k é uma potência de 2, digamos k = 2^m, a fórmula do número de divisores de k
d(k) = m + 1
Pelo enunciado, d(k)=5, logo
m + 1 = 5 Longrightarrow m = 4

Passo 4

Temos m = n - 4, então
n - 4 = 4 Longrightarrow n = 8
Portanto, o número original é
2^n = 2^8 = 256

Resposta

256

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