41 Suponha que uma estrela esteja situada na origem de um plano das coordenadas e que um planeta orbite a estrela, com o planeta localizado em
\cos (2 \pi t), \operatorname{sen}(2 \pi t)
no instante t. Aqui, t é medido em anos e a distância é medida em unidades astronômicas (uma distância astronômica é
aproximadamente a distância média da Terra ao Sol, que é de aproximadamente 93 milhões de milhas). Explique por que o planeta completa uma órbita circular em torno da estrela uma vez por ano.

Passo 1

O enunciado nos dá as coordenadas do planeta em função do tempo t (em anos) como
x(t)=\cos\bigl(2\pi t\bigr), \quad y(t)=\sin\bigl(2\pi t\bigr).
O conteúdo aqui é movimento circular uniforme no plano, e queremos mostrar que a trajetória é um círculo de raio constante e que o período dessa volta é 1 ano.

Passo 2

Mostramos que a distância do planeta à origem é constante, calculando
r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2} =\sqrt{\cos^2\bigl(2\pi t\bigr)+\sin^2\bigl(2\pi t\bigr)} =1.
Logo, a trajetória é o círculo de raio 1 (uma unidade astronômica) centrado na estrela.

Passo 3

Reconhecemos que o argumento do cosseno e do seno é \theta(t)=2\pi t. Em movimento circular uniforme, \theta(t) é o ângulo polar medido em radianos, e sua variação com o tempo é constante.

Passo 4

Para completar uma volta completa no círculo, o ângulo polar deve crescer de 2\pi radianos. Ou seja, queremos \Delta t tal que
\Delta\theta = 2\pi\,\Delta t = 2\pi.
Dessa equação segue \Delta t=1.

Passo 5

Como \Delta t=1 ano corresponde a um incremento de \Delta\theta=2\pi radianos, o planeta dá exatamente uma volta ao redor da estrela em 1 ano.

Resposta

O planeta descreve um círculo de raio constante igual a 1 unidade astronômica e, como seu ângulo polar cresce a uma taxa de 2\pi radianos por ano, ele completa exatamente uma volta em 1 ano, ou seja, uma órbita por ano.

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