41 Suponha que uma estrela esteja situada na origem de um plano das coordenadas e que um planeta orbite a estrela, com o planeta localizado em
no instante
. Aqui,
é medido em anos e a distância é medida em unidades astronômicas (uma distância astronômica é
aproximadamente a distância média da Terra ao Sol, que é de aproximadamente 93 milhões de milhas). Explique por que o planeta completa uma órbita circular em torno da estrela uma vez por ano.
aproximadamente a distância média da Terra ao Sol, que é de aproximadamente 93 milhões de milhas). Explique por que o planeta completa uma órbita circular em torno da estrela uma vez por ano.
Passo 1
O enunciado nos dá as coordenadas do planeta em função do tempo
(em anos) como
O conteúdo aqui é movimento circular uniforme no plano, e queremos mostrar que a trajetória é um círculo de raio constante e que o período dessa volta é
ano.
Passo 2
Mostramos que a distância do planeta à origem é constante, calculando
Logo, a trajetória é o círculo de raio
(uma unidade astronômica) centrado na estrela.
Passo 3
Reconhecemos que o argumento do cosseno e do seno é
. Em movimento circular uniforme,
é o ângulo polar medido em radianos, e sua variação com o tempo é constante.
Passo 4
Para completar uma volta completa no círculo, o ângulo polar deve crescer de
radianos. Ou seja, queremos
tal que
Dessa equação segue
.
Passo 5
Como
ano corresponde a um incremento de
radianos, o planeta dá exatamente uma volta ao redor da estrela em
ano.
Resposta
O planeta descreve um círculo de raio constante igual a
unidade astronômica e, como seu ângulo polar cresce a uma taxa de
radianos por ano, ele completa exatamente uma volta em
ano, ou seja, uma órbita por ano.