Suponha que joguemos uma moeda até que saia uma coroa duas vezes ou que a joguemos seis vezes. Qual é o número esperado de vezes que jogaremos a moeda?

Passo 1

O enunciado pede o número esperado de lançamentos de uma moeda justa até obter duas coroas ou até que se atinjam seis lançamentos, o que ocorrer primeiro. O conteúdo envolvido é o da distribuição binomial negativa (tempo até r=2 sucessos com probabilidade p=\tfrac12) truncada em 6 lançamentos. Para calcular a esperança de uma variável inteira positiva truncada, usamos a identidade
\mathbb{E}[N]=\sum_{n=1}^{6}P(N\ge n).

Passo 2

Definimos T como o número de lançamentos necessários para obter duas coroas sem limite superior; então T segue a binomial negativa \mathrm{NB}(r=2,p=\tfrac12). Em seguida definimos
N=\min(T,6),
ou seja, paramos no segundo sucesso ou no sexto lançamento, o que vier primeiro. Assim
\mathbb{E}[N] =\sum_{n=1}^{6}P(N\ge n).

Passo 3

Para n\le6, a condição N\ge n significa que nas primeiras n-1 jogadas não ocorreram duas coroas. Seja X_{n-1}\sim\mathrm{Binomial}(n-1,\tfrac12) o número de coroas nessas n-1 jogadas. Então
P(N\ge n) = P(X_{n-1}\le1).
Calculamos caso a caso:
Para n=1 e n=2 temos sempre menos de duas coroas em 0 ou 1 lançamento, logo
P(N\ge1)=1, \quad P(N\ge2)=1.
Para n=3:
P(N\ge3)=P(X_2\le1) =1-P(X_2=2) =1-\tfrac14 =\tfrac34.
Para n=4:
P(N\ge4)=P(X_3\le1) =1-P(X_3\ge2) =1-\bigl(P(X_3=2)+P(X_3=3)\bigr) =1-\bigl(\tfrac38+\tfrac18\bigr) =\tfrac12.
Para n=5:
P(N\ge5)=P(X_4\le1) =P(X_4=0)+P(X_4=1) =\tfrac1{16}+\tfrac4{16} =\tfrac5{16}.
Para n=6:
P(N\ge6)=P(X_5\le1) =P(X_5=0)+P(X_5=1) =\tfrac1{32}+\tfrac5{32} =\tfrac6{32} =\tfrac3{16}.

Passo 4

Somando as probabilidades de cauda obtemos
\mathbb{E}[N] =\sum_{n=1}^{6}P(N\ge n) =1 + 1 + \tfrac34 + \tfrac12 + \tfrac5{16} + \tfrac3{16} =\tfrac{15}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{4} (ou seja, em média 3{,}75 lançamentos).

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