Suponha que joguemos uma moeda até que saia uma coroa duas vezes ou que a joguemos seis vezes. Qual é o número esperado de vezes que jogaremos a moeda?
Passo 1
O enunciado pede o número esperado de lançamentos de uma moeda justa até obter duas coroas ou até que se atinjam seis lançamentos, o que ocorrer primeiro. O conteúdo envolvido é o da distribuição binomial negativa (tempo até
sucessos com probabilidade
) truncada em 6 lançamentos. Para calcular a esperança de uma variável inteira positiva truncada, usamos a identidade
Passo 2
Definimos
como o número de lançamentos necessários para obter duas coroas sem limite superior; então
segue a binomial negativa
. Em seguida definimos
ou seja, paramos no segundo sucesso ou no sexto lançamento, o que vier primeiro. Assim
Passo 3
Para
, a condição
significa que nas primeiras
jogadas não ocorreram duas coroas. Seja
o número de coroas nessas
jogadas. Então
Calculamos caso a caso:
Para
e
temos sempre menos de duas coroas em 0 ou 1 lançamento, logo
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Somando as probabilidades de cauda obtemos