63 Suponha f(x)=\log x e g(x)=\log (1000 x). Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pelo deslocamento do gráfico de f 3 unidades para cima.

Passo 1

O enunciado dá as funções
\displaystyle f(x)=\log x
e
\displaystyle g(x)=\log(1000\,x)
e pede para explicar por que o gráfico de g é obtido a partir do de f por um deslocamento vertical de 3 unidades. O conteúdo envolvido é a propriedade de logaritmo de produto e o efeito de somar uma constante a uma função sobre seu gráfico.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de logaritmos que diz que, para a>0 e b>0,
\log(ab)=\log a+\log b.
No nosso caso, com a=1000 e b=x, temos
g(x)=\log(1000\,x)=\log1000+\log x.

Passo 3

Como estamos trabalhando na base 10, \displaystyle1000=10^3, então
\log1000=\log(10^3)=3.

Passo 4

Substituindo \log1000=3 em g(x), obtemos
g(x)=3+\log x=f(x)+3.
Isto mostra que, para cada x, o valor de g(x) é exatamente o valor de f(x) acrescido de 3. Graficamente, somar 3 à função corresponde a elevar todo o gráfico de f em 3 unidades na direção vertical.

Resposta

O gráfico de g é o gráfico de f deslocado 3 unidades para cima, pois
g(x)=\log(1000\,x)=\log x+3=f(x)+3.

Exercícios de Livros Relacionados