Suponha que o montante de dinheiro aplicado em um fundo de investimento que paga juros compostos, denotado por
, pode ser modelado por uma equação diferencial da forma
, em que
é o tempo em anos,
é a taxa do fundo de investimento e
é um depósito que realiza todos os anos de forma contínua. Suponha que uma pessoa faça um
investimento inicial de 10.000 reais, e que a taxa anual do fundo de investimento seja de
. Qual o montante que a pessoa teria ao final de 30 anos, se ela realiza depósitos anuais de 3.000 reais?
investimento inicial de 10.000 reais, e que a taxa anual do fundo de investimento seja de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
para juros compostos com depósito contínuo, com condição inicial
, taxa anual
e depósito contínuo de
reais por ano. Queremos calcular
. Vamos usar o método do fator integrante, indicado para EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma padrão
O fator integrante é
Multiplicando ambos os lados por
resulta em
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolando
,
Para determinar
, usamos
:
Passo 5
Substituindo
na solução geral, obtemos
Com
e
, temos
logo
Passo 6
Calculando numericamente:
Resposta
O montante ao final de
anos é aproximadamente R$
.