Suponha que o montante de dinheiro aplicado em um fundo de investimento que paga juros compostos, denotado por M(t), pode ser modelado por uma equação diferencial da forma d Md t=i M+d, em que t é o tempo em anos, i é a taxa do fundo de investimento e d é um depósito que realiza todos os anos de forma contínua. Suponha que uma pessoa faça um
investimento inicial de 10.000 reais, e que a taxa anual do fundo de investimento seja de 5 %. Qual o montante que a pessoa teria ao final de 30 anos, se ela realiza depósitos anuais de 3.000 reais?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dMdt = i,M + d
para juros compostos com depósito contínuo, com condição inicial M(0)=10000, taxa anual i=0,05 e depósito contínuo de d=3000 reais por ano. Queremos calcular M(30). Vamos usar o método do fator integrante, indicado para EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão
dMdt - i,M = d
O fator integrante é
mu(t) = e^-integral i,dt = e^-i t
Multiplicando ambos os lados por mu(t) resulta em
ddtl(M,e^-i tr) = d,e^-i t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
M,e^-i t = integral d,e^-i t,dt = dintegral e^-i t,dt = -di,e^-i t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando M(t),
M(t) = C,e^i t - di
Para determinar C, usamos M(0)=10000:
10000 = C - di Longrightarrow C = 10000 + di

Passo 5

Substituindo C na solução geral, obtemos
M(t) = l(10000 + dir)e^i t - di
Com i=0,05 e d=3000, temos
di = 30000,05 = 60000,
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M(30) = (10000 + 60000)e^0,05cdot 30 - 60000 = 70000,e^1,5 - 60000

Passo 6

Calculando numericamente:
e^1,5 approx 4,481689 Longrightarrow M(30) approx 70000 times 4,481689 - 60000 approx 313718,23 - 60000 = 253718,23

Resposta

O montante ao final de 30 anos é aproximadamente R$ 253718,23.

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