Suponha que o número de indivíduos de determinada população seja dado pela função P(t)=a cdot 2^-b t, em que a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial ( t=0 ) seja composta de 1.024 indivíduos e que a população, após 10 anos, seja 1 / 4 da população inicial.
b) Determine o tempo mínimo para que a população se reduza a 1 / 8 da população inicial.
c) Esboce o gráfico da função P(t) para t in[0,20].

Passo 1

O enunciado define uma população por
P(t)=acdot 2^-b,t,
com t em anos e constantes a,b. Pede-se:
  1. Ajustar a e b de modo que P(0)=1024 e P(10)=tfrac14cdot 1024.
  2. Calcular o tempo para P(t)=tfrac18cdot P(0).
  3. Esboçar o gráfico de P(t) em [0,20].

Passo 2

Usamos P(0)=acdot 2^-bcdot0=a. Como deve ser 1024, temos
a=1024

Passo 3

Para t=10, P(10)=1024cdot 2^-10b deve valer tfrac14cdot 1024=256. Então
1024cdot 2^-10b=256 Longrightarrow 2^-10b=tfrac2561024=tfrac14=2^-2 Longrightarrow -10b=-2 Longrightarrow b=0,2

Passo 4

Queremos P(t)=tfrac18cdot 1024=128. Logo
1024cdot 2^-0,2,t=128 Longrightarrow 2^-0,2,t=tfrac1281024=tfrac18=2^-3 Longrightarrow -0,2,t=-3 Longrightarrow t=30,2=15 anos

Passo 5

O gráfico de P(t)=1024cdot 2^-0,2t em [0,20] é uma curva de decaimento exponencial. Alguns valores-chave:
P(0)=1024,; P(5)=1024cdot2^-1=512,; P(10)=256,; P(15)=128,; P(20)=64
Traçando t no eixo horizontal e P(t) no vertical, obtemos uma curva continuamente decrescente, passando pelos pontos acima.

Resposta

a) a=1024 e b=0,2.
b) t=15 anos.
c) Gráfico exponencial decrescente com pontos (0,1024), (5,512), (10,256), (15,128), (20,64).

Exercícios de Livros Relacionados