*[32] (Forma quadrática de uma matriz quadrada qualquer) Quase toda função usada neste curso é de classe C^infty. Desta maneira, pelo teorema de Young (página 176), a matriz hessiana desta função é simétrica e isto justifica porque temos dado tanta atenção a formas quadráticas definidas por matrizes simétricas. Mas o que dizer de formas quadráticas definidas por matrizes não-simétricas? Os exercícios seguintes têm por objetivo esclarecer estes pontos.
(a) Mostre que as formas quadráticas definidas pelas matrizes
A=[rr 1 & 0 0 & -1 ] e B=[rr 1 & 5 -5 & -1 ]
são iguais, isto é, mostre que
QA(h)=h^T cdot A cdot h=h^T cdot B cdot h=QB(h)
para todo h in R^2. Moral da história: duas matrizes diferentes podem induzir à mesma forma quadrática.
(b) Por outro lado, mostre que se A e B são matrizes simétricas diferentes, então suas formas quadráticas são diferentes.
(c) Dizemos que uma matriz A é anti-simétrica se ela satisfaz a propriedade A^T=-A. Dê um exemplo de uma matriz anti-simétrica. um exemplo de uma matriz que não é anti-simétrica e um exemplo de uma matriz que não é anti-simétrica e nem simétrica.
(d) Calcule a forma quadrática definida pela matriz anti-simétrica que você forneceu no item anterior.
(e) Mostre que a forma quadrática definida por uma matriz anti-simétrica é a função nula, isto é, mostre que se A^T=-A, então Q(h)=h^T cdot A cdot h=0 para todo h in R^n.
(f) Seja A uma matriz n times n qualquer. Mostre que as matrizes
X=A+A^T2 e Y=A-A^T2
são, respectivamente, simétrica e anti-simétrica. Mostre também que
A=X+Y
Moral da história: toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica. A matriz X é denominada de parte simétrica de A e a matriz Y de parte anti-simétrica de A.
(g) Mostre que se A é uma matriz anti-simétrica e simétrica ao mesmo tempo, então A é a matriz nula.
(h) Mostre que a decomposição de uma matriz quadrada (como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz simétrica) é única, isto é, mostre que se
A=X1+Y1 e A=X2+Y2
onde X1 e X2 são matrizes simétricas e Y1 e Y2 são matrizes antisimétricas, então
X1=X2 e Y1=Y2
(i) Conclua que para estudar a positividade de uma forma quadrática definida, por uma matriz quadrada qualquer, basta estudar a positividade da forma quadrática definida por sua parte simétrica.

Passo 1

O enunciado trata das formas quadráticas QA(h)=h^T A,h definidas por uma matriz qualquer A. O objetivo é entender como diferentes matrizes (simétricas, anti-simétricas ou gerais) geram formas quadráticas, mostrar a decomposição única de qualquer A em parte simétrica e parte anti-simétrica, e concluir que a positividade de QA depende apenas da parte simétrica.

Passo 2

Para (a), seja h=(h1,h2). Calculamos
QA(h) =h^T1&00&-1h =(h1,h2)h1-,h2 =h1^2 - h2^2
Analogamente,
QB(h) =h^T1&5-5&-1h =h1^2 +5h1h2-5h2h1 - h2^2 =h1^2 - h2^2
Logo QA(h)=QB(h) para todo h.

Passo 3

Para (b), suponha A e B simétricas e Aneq B. Então C=A-B é simétrica não nula, logo existe h com
h^T C,hneq0
Mas h^T Ch=h^T Ah-h^T Bh, de onde as formas quadráticas de A e B diferem.

Passo 4

Para (c), um exemplo de matriz anti-simétrica é
A=0&1-1&0,
pois A^T=-A. Uma matriz que não é anti-simétrica (mas simétrica) é, por exemplo,
X=1&00&2,
e uma que não é nem simétrica nem anti-simétrica é
M=1&23&4,
pois M^Tneq pm M.

Passo 5

No item (d), a forma quadrática de A=0&1-1&0 é
QA(h1,h2) =h1cdot0cdot h1 + h1cdot1cdot h2 + h2cdot(-1)cdot h1 + h2cdot0cdot h2 = h1h2 - h2h1 = 0

Passo 6

Em (e), se A^T=-A, então
QA(h) =h^T A,h =l(h^T A,hr)^T =h^T A^T h =-h^T A,h,
logo QA(h)=0 para todo h.

Passo 7

No item (f), definimos
X=A+A^T2, Y=A-A^T2
Então
X^T=A^T + A2=X, Y^T=A^T - A2=-Y,
mostrando que X é simétrica e Y anti-simétrica. Além disso,
X+Y =A+A^T2+A-A^T2 =A

Passo 8

Para (g), se A é simétrica ( A^T=A) e anti-simétrica ( A^T=-A) ao mesmo tempo, então A=-A e portanto A=0.

Passo 9

Em (h), suponha
A=X1+Y1 = X2+Y2,
com Xi simétricas e Yi anti-simétricas. Então
X1 - X2 = Y2 - Y1 =:M
Mas M é simétrica (diferença de simétricas) e também anti-simétrica (diferença de anti-simétricas), logo M=0 e X1=X2, Y1=Y2.

Passo 10

No item (i), como A=X+Y e já vimos QYequiv0, temos
QA(h) =h^T A,h =h^T X,h + h^T Y,h =QX(h)+0 =QX(h)
Logo a positividade de QA depende só da parte simétrica X.

Resposta

(a) Ambos dão h1^2 - h2^2.
(b) Diferença simétrica não nula gera forma diferente.
(c) Ex.: anti-simétrica 0&1-1&0; não anti-simétrica mas simétrica 1&00&2; nem simétrica nem anti-simétrica 1&23&4.
(d) QA(h1,h2)=0.
(e) QA(h)=0.
(f) X=(A+A^T)/2 simétrica, Y=(A-A^T)/2 anti-simétrica, A=X+Y.
(g) Então A=0.
(h) A decomposição é única.
(i) Positividade de QA equivale à de QX.

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