Suponha A sendo uma matriz n times n tal que A^2=I, onde A^2 =A A. Mostre que det A= pm 1.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n tal que
A^2 = I
O conteúdo a usar é a propriedade multiplicativa do determinante, isto é,
det(AB) = det(A),det(B), e o fato de que det(I)=1.

Passo 2

Aplicando o determinante em ambos os lados de A^2=I e usando a propriedade multiplicativa, temos
det(A^2) = det(A,A) = det(A),det(A) = l(det(A)r)^2
e também
det(I) = 1
Logo,
l(det(A)r)^2 = 1 Longrightarrow det(A) = pm 1

Resposta

det(A) = pm 1.

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