O produto da medida de cada lado do triângulo pela medida da altura do vértice oposto é constante. Demonstre.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo com lados a, b e c e respectivas alturas geratrizes ha, hb e hc. Queremos mostrar que os produtos
a,ha, b,hb e c,hc são iguais entre si.

Passo 2

Pela definição de área de um triângulo, se tomarmos o lado a como base e ha como altura correspondente, a área A é
A = a,ha2

Passo 3

Do mesmo modo, escolhendo b como base com altura hb e c como base com altura hc, temos
A = b,hb2,
A = c,hc2

Passo 4

Como todas essas expressões valem a mesma área A, igualamos:
a,ha2 = b,hb2 = c,hc2
Multiplicando tudo por 2 resulta
a,ha = b,hb = c,hc

Resposta

a,ha = b,hb = c,hc.

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